Есть формула сокращённого умножения для разности квадратов, есть для квадрата суммы и квадрата разности, есть для суммы кубов и разности кубов, для куба суммы и для куба разности.
Остаётся сумма квадратов. Здесь формулы нет. А почему?..
Должно же быть какое-то объяснение, почему её не существует? Ну, по крайней мере её нет в школьных учебниках и в энциклопедиях, которые я читал.

Ладно с кубами, давайте разберемся с квадратами. Всё дело в том, что разные формулы приживаются, когда они востребованы и облегчают жизнь. И формулы опять же придумываются не с потолка, а в результате каких то исследований и решения задач. Но после, когда формула оказалась полезной в общем виде её запоминают. Могут включить в справочники или в программу обучения. Но зачастую подробно не раскрывается смысл или ученики просто не интересуются природой формулы и просто заучивают. А потом мозг задаёт пытливые вопросы.
В школьной программе, да и в справочниках формулы для квадратов идут в таком виде:
(a+b)² = a² + 2ab + b² - квадрат суммы
(a-b)² = a² - 2ab + b² - квадрат разности
a² - b² = (a+b)•(a-b) - разность квадратов
И мозг ученика гложет ожидаемый вопрос: ну где же четвертая формула аналогичная, только с плюсом. И меня в школе учеником тоже поначалу мучал этот вопрос.
Я пытливым умам ученикам пытаюсь демонстрировать вывод формулы в другом виде.
1) представим, что надо перемножить суммы двух чисел (возвести в квадрат)
(a+b) • (a+b). Далее ученик или совместно с учеником раскрываем скобки перемножив каждое с каждым. Приводим подобные  и как раз получаем a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²
2) Теперь представим, что надо перемножить разности двух чисел (возвести в квадрат)
(a-b) • (a-b). Опять ученик или совместно с учеником раскрываем скобки перемножив каждое с каждым. Приводим подобные  и как раз получаем a² - ab - ab + b² = a² - 2ab + b²
3) А теперь вопрос. Вот мы перемножили две скобочки с суммами, перемножили две скобочки с разностями. А возможен ещё какой вариант? А что если в одной скобочке сумма чисел, а в другой разность?
(a+b) • (a-b). Опять ученик или совместно с учеником раскрываем скобки перемножив каждое с каждым. Приводим подобные  и как раз получаем a² + ab - ab - b² = a² - b²
И вот тут понимание, что больше вариантов то и нету.
и получили три формулы умножения различных множителей:
(a+b) • (a+b) = (a+b)² = a² + 2ab + b²
(a-b) • (a-b) = (a-b)² = a² - 2ab + b²
(a+b) • (a-b) = a² - b²
А потом уже навыками учимся применять формулы как в одну сторону, так и в обратную. И уже вопросов про сумму квадратов не возникает.
                                                                              

Формулы сокращённого умножения так и называются, потому что с ними легче, чем без них. Все перечисленные вами формулы из учебников наглядно демонстрируют. Например вместо того, чтоб в куб возводить, достаточно всего лишь второй степени и т.д.
А в случае с суммой квадратов при разложении получается, наоборот, усложнение. Поэтому и нет этой формулы в учебниках, что она практически не применима
Если бы вы сформулировали свой вопрос так: почему сумма квадратов не раскладывается на множители. То это уже половина ответа. Потому что на самом деле всё раскладывается при желании, но у сомножителей появятся квадратные корни. Но уж лучше как-нибудь возвести в квадрат, чем возиться с квадратными корнями
То есть технически формула разложения на множители для суммы квадратов есть. Но ей никто не пользуется

Ну, почему это формулы суммы квадратов двух чисел не существует? Ещё как такая формула существует. Вот она:
a² + b² = ((a + b)*(a + b)) - 2*a*b
только, вот вопрос, а насколько она способна облегчить Вам расчёт?
Я думаю, такая формула просто бесполезна в расчётной практике, потому она - практически не используется и не печатается в школьных учебниках и энциклопедиях.
Эта формула не несёт в себе никакой целесообразности.

На самом деле всё  немного по-другому..
Дело в том, что все эти "формулы сокращённого умножения" используются в элементарной математике..
Элементарная математика - это математика, которая преподаётся в средней школе..
Все остальные разделы математики - это высшая математика..
Школьникам даются азы математики, более способным - что-то из высшей (школы с физико-математическом уклоном), поэтому задаются некие правила элементарных преобразований..
А вообще все представленные в данном случаи "формулы" - это частные случаи формулы разложения суммы двух чисел в некую степень..
Называется это бином Ньютона..
Для облегчения разложения используют особо построенную таблицу, называемую треугольник Паскаля..
Применив это разложения для случая квадрата суммы двух чисел:
(a+b)² = a² + 2ab + b² - известная со школы формула..
Теперь от правой и левой части выражения отнимем 2ab:
(a+b)² - 2ab = a² + 2ab + b² - 2ab
И получим искомое:
(a+b)² - 2ab = a² + b²
Частных случаев подобного много, в школе дают формулы наиболее распространённые..
А в общем случае - это бином Ньютона..
Сам Ньютон вывел эту формулу вообще для действительных чисел в показателе степени (до него она была известна только для целых чисел), потом она была обобщена на комплексные числа.. Далее было обобщение произвольной суммы комплексных чисел в с показателем комплексным и т.д..
Поэтому математика - это различные обобщения, когда известное выражение является частным случаем более общего, в школе же не редко формулы даются  без их выводов и тем более не говорится об обобщениях.. Школьникам это не нужно..

На самом деле есть такая формула и выглядит она так: a^2 + b^2 = (a + bi)*(a - bi). Если присмотреться, то это просто разность квадратов, мнимая единица в квадрате даёт плюс в формуле.