Очередная задача 26 из ОГЭ.
Две окружности, радиусами r = 39, R = 42, касаются внешним образом в точке К, и при этом обе касаются угла А.
Общая касательная, проходящая через т. К, пересекает стороны угла в точках В и С.
Как найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника АВС?

Обозначим центр меньшей окружности точкой О1, большей - точкой О2. Через точки АО2 проведём прямую (осевую линию). Точки К и О1 тоже лежат на этой линии. Угол между осевой и касательной (будем рассматривать верхнюю) назовём альфа (а). Проведём из точки О1 прямую, параллельную касательной, до пересечения с начерченной линией радиуса R. Точку пересечения обозначим М.
Очевидно, что угол МО1О2 равен альфа. Из треугольника О1МО2 получаем sin(a)=(R-r)/(R+r)=1/27.
Из подобия треугольников О1МО2 и треугольников, образованных отрезками касательной и соответствующих радиусов получаем АО1=39*27, АО0-42*27, АК=39*27+39=42*27-42=39*28=42*26=1092.
Из треугольника АВК получаем АВ=АК/cos(a).
Обозначим центр описанной вокруг треугольника АВС окружности О. Соединим точку О с точками А и В.
Искомый радиус АО=ОВ=(АВ/2)/cos(a)=АК/(2*cos^2(a)).
Подставляя значения получаем искомый радиус равен 1092/(2*(1-(1/27)^2)=546*729/728=3*729/4=3^7/4=546,75.
При решении, конечно можно было бы обойтись и без привлечения тригонометрических функций, для решения задачи достаточно соотношения соответственных сторон подобных треугольников, но с привлечением тригонометрических функций выкладки выглядят намного компактнее.
                                                                              

Соединим линией вершину угла А с центрами окружностей. Из середины АВ стороны равнобедренного треугольника АВС восстановим перпендикуляр ЕН до пересечения с биссектрисой АК. Тогда точка Н – центр описанной вокруг треугольника АВС окружности, а АН ее радиус, обозначим его за f.
Пусть АО = s, АР = m. Из подобия треугольников АЕН и АТМ имеем отношение
(s+r+R)/s =R/r. Тогда
s = r(R+r)/(R-r) =39(42+39)/(42-39)=1053
По теореме Пифагора определяем отрезок m
m =√(s²- r²) = √1107288.
Пусть АЕ =z. Из подобия треугольников АРО и АКВ имеем отношение
2*z/(s+ r) = s/m. Откуда определяем z,
z = s(s+ r)/(2m).
Далее рассмотрим подобные треугольники АЕН и АРО, согласно которым составляем пропорцию
m/s = z/ f.
В результате имеем
f = s*z/ m = s²(s+ r)/(2m²) =1053²(1053+39)/(2*1107288) =546,75

R − искомый радиус; A = 2α; BC = 2x.
sinα = (R − r)/(R + r);
cosα = 2x/(R + r);
sinA = BC/2R = x/R = 4x(R − r)/(R + r)²;
R = (R + r)²/4(R − r) = 3⁷/4.