В треугольнике АВС стороны АВ и BС равны, ∠АСВ=75°. На стороне ВС взяли точки Х и Y так, что точка Х лежит между точками В и Y, AX=BX и ∠BAX=∠YAX. Найдите длину отрезка AY, если AX=20.
Запишите решение и ответ.

Для решения геометрических задач зачастую необходим рисунок. Это задача не является исключением.
1) Т.к. треугольник равнобедренный, то углы при основании равны, т.е. ∠BAC=∠АСВ=75°.
Значит, исходя из того, что сумма углов треугольника равняется 180°, ∠ABC=180°-75°-75°=30°.
2) Т.к. по условию AX=BX, то треугольник ABX - равнобедренный, следовательно, углы при его основании равны, т.е. ∠BAX=∠АВХ=30°.
Значит, исходя из того, что сумма углов треугольника равняется 180°, ∠AXB=180°-30°-30°=120°
3) ∠AXB+∠AXY=180°, т.к. они смежные. Значит, ∠AXY=180°-120°=60°
4) Т.к. по условию ∠BAX=∠YAX, то ∠YAX=30°
Значит, исходя из того, что сумма углов треугольника равняется 180°, ∠BYA=180°-30°-60°=90°.
Значит, треугольник YAX - прямоугольный с углом 30°, следовательно, его гипотенуза (АХ) в два раза больше катета (XY), находящегося напротив угла в 30°. Т.е. XY=20/2=10.
5) cos YAX = cos 30° = √3/2 = AY/AX. Значит, AY = √3*20/2 = √3*10 = 10√3
Ответ:10√3.
                                                                              

Восьмиклассники по программе к апрелю (время проведения ВПР) должны пройти тему "Равнобедренные треугольники" и поэтому смогут легко решить данную задачу. Ведь в ней мы видим сразу два равно бедренных треугольника. Треугольник АВС (в треугольнике АВС стороны АВ и BС равны) и треугольник АВХ (АХ=ВХ). Дальше применяем свойства равнобедренных треугольников.
Угол ∠АСВ=75°, значит и угол ∠ВАС=75°. Далее можем найти угол при вершине ∠АВС=180-75-75=30°.
Свойства треугольника АВХ: ∠АВХ=∠ВАХ=30°. По условию ∠BAX=∠YAX, значит ∠YAX = 30°. Теперь рассмотрим треугольник АВУ, в ней ∠АВУ = 30°, ∠YAB = ∠YAX+ ∠BAX = 30°+ 30°=60°. Значит третий угол ∠АYВ прямой (180-30-60 = 90°). Треугольник АХУ тоже прямоугольный. В этом треугольнике ХУ катет лежащий против угла в  30°, значит ХУ=АХ/2=20/2=10. АУ найдем по теореме Пифагора. АУ=корень квадратный из (20^2-10^2=400-100=300)=10*V3.