В остроугольном треугольнике АВС проведены высота ВН и медиана АМ, причем точки А, В, Н и М лежат на одной окружности.
А) Докажите, что треугольник АВС равнобедренный.
Б) Найдите площадь треугольника АВС, если АМ:ВН=4:3 и МН=3.

пункт А):
ВН - высота ∆АВС, значит ∠АНВ = 90°
точки А, В, Н и М лежат на одной окружности, значит:
∠АНВ = ∠АМВ = 90° (т.к углы ∠АНВ и ∠АМВ опираются на одну и ту же хорду АВ)
прямоугольные треугольники ∆АВМ и ∆АМС равны, т.к у них сторона АМ - общая и ВМ=МС (т.к АМ медиана)
следовательно: АВ=АС, т.е ∆АВС - равнобедренный
пункт Б):
построим ∆ВСD, равный ∆АВС как показано на рисунке и проведем в ∆ВСD высоту СЕ и медиану DM
четырехугольник ABDC - ромб (т.к у него все стороны равны), значит АС параллельна BD
∆ВСD - копия ∆АВС, значит ∠ВЕМ = ∠MHC следовательно точки E, M и H - лежат на одной прямой
т.е EH и ВС - диагонали прямоугольника BECH
значит EH=ВС, а следовательно MH=MC=BC/2
по условию задачи:
МН=3, значит ВС=6АМ:ВН=4:3, при этом по формуле площади треугольника: 1/2*ВС*АМ=1/2*АC*ВH, следовательно:АС/ВС=АМ/ВН или АС=ВС*АМ/ВН
т.е АС=6*4/3=8
АМ² = АС² - МС² = 8² - 3²=55
АМ = √55
площадь треугольника ∆АВС = АМ * МС = 3*√55