В треугольнике больший угол при основании равен 45°, а высота делит основание на отрезки, равные 20 и 21. Найдите длину большей боковой стороны.

Решаем задачу правильно; И часто в решении геометрической задачи помогает рисунок.
Отмечаем, что дано по условию.
Отметили ∠A = 45˚ при основании. Провели высоту CH. И основание AB разбилось высотой на два отрезка AH и HB. Но "кто из них кто?" Какой отрезок 20, а какой 21?
Тут вспомним условие, что больший угол при основании: ∠A = 45˚, а напротив большего угла лежит большая сторона.
То есть BC > AC
AH - проекция AC - на основание.
HB - проекция CB - на основание.
А у большей стороны будет большая проекция.
Получаем HB > AH; Значит HB = 21 и AH = 20
Рассмотрим ∆AHC - прямоугольный с углом в 45˚. Значит ∠С = (90˚- 45˚) = 45˚ =  ∠A => ∆AHC - равнобедренный
AH = HC = 20
Рассмотрим ∆BHC - прямоугольный: По теореме Пифагора CB² = CH² + HB²
CB² = 20² + 21² = 400 + 441 = 841
CB = √841 = 29
Ответ: 29 
                                                                              

Если высота проведена к основанию, то она проведена не из угла в 45°, ибо этот угол лежит при основании.
Следовательно исходный треугольник разбивается высотой на два прямоугольных треугольника.
Причем один из этих треугольников (а именно тот, который включаяет в себя тот самый угол в 45°) является еще и равнобедренным. Этот вывод вытекает из того, что сумма углов треугольника равна 180°, а стало быть на третий его угол остается аккурат 45°:
180 - 90 - 45 = 45. Таким образом длина высоты составляет либо 20, либо 21 единиц.
По теореме Пифагора (кажется) квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Т.е. у бОльшей гипотенузы должны быть и бОльшие катеты. А значит длина высоты, делящая основание на две части, должна быть равна бОльшему катету, а именно 21-й единице. Соответственно и часть основания длиной в 21 единицу одновременно являющаяся второй стороной равнобедренного треугольника (одной из сторон которого является исходная высота) образует исходный угол в 45°.
Потому получается что и бОльшая сторона исходного треугольника образует тот самый исходный угол в 45°, а длина ее равна квадратному корню из 21 в квадрате плюс 21 в квадрате.
Сколько это "в граммах" я считать не стану - число получается не аккуратное.
Но дело даже не в этом. Ведь козе понятно, что бОльшая сторона треугольника должна лежать против бОльшего его угла... А поскольку бОльшим углом объявлен угол в 45°, то бОльшая сторона не должна участвовать в образовании бОльшего угла. Вот только тогда квадрат этой истинно бОльшей стороны должен быть равен сумме 21 в квадрате плюс 20 в квадрате, что заведомо меньше нежели друга "бОльшая" сторона.
Т.е. мы имеем противоречивое решение или (другими словами) не имеем решения.
Что-то намудрили составители задачи (или автор вопроса).