Доброго Вам времени суток. Я изучаю математику и связанные с ней науки, и у меня возникли сомнения по поводу наиболее распространённого доказательства иррациональности корня из числа. Предлагаю вспомнить это доказательство, а в качестве подкоренного числа возьмём двойку.
Пойдём от противного, представив, что квадратный корень из двух является рациональным числом.
• ?2=m/n
• 2=m?/n?
• m?=2n?
То есть, m?—чётное число, как и само значение m.
• m=2k, а m?=(2k)?=4k?
Итак,
• 2=4k?/n?
• 4k?=2n?
пришли к тому, что обе части равенства можно сократить на два, хотя, по условию, мы взяли несократимую дробь. Противоречие: несократимое дробное число можно сократить. Этим доказывается, что ?2—иррациональное число. Я не очень хорошо понимаю это доказательство, но я решил проверить: является ли ?4 рациональным числом?
Проверяем:
• ?4=m/n
• 4=m?/n?
• m?=4n?
M? кратно четырём, как и само значение m.
• m=4k, a m?=(4k)?=16k?
• 4=16k?/n?
• 16k?=4n?
Вновь пришли к противоречию, т.к. обе части равенства можно сократить как на два, так и на четыре. Подскажите, пожалуйста, если я где-то ошибся в своих рассуждениях, то где именно? А если нет, то почему это доказательство считается верным и есть ли другие способы доказать иррациональность корня из числа? Спасибо.

Ошибка в вашем рассуждении вот тут:
Это не так. Из того, что квадрат числа кратен четырём, вовсе не следует, что и само число кратно четырём. Ну натурально: если квадрат числа кратен четырём, то такое число можно разложить на множители: m² = 4*k. Окей, разделим обе части на 4. Получается (m²/4) = k. Ну и какие выводы относительно k отсюда можно извлечь? А никакие. Ну разве что k тоже должно быть полным квадратом.
Богато...