Невероятно, но факт - если в одну и ту же емкость поместить шары разного диаметра, то они займут одинаковый объем в этой емкости. Какой математик доказал эту теорему?

Не удивлюсь, если таким математиком был Евклид. Потому что равенство доли объёма, занимаемого сферами в бесконечном сосуде, следует из теорем подобия, содержавшихся ещё в его "Началах".
В современной математике есть несколько теорем по поводу плотной упаковки. Так, К. Гаусс доказал, что максимально плотная упаковки составляет примерно 0,74 (74% объёма приходится на шары), а Т. Хейлз уже сравнительно недавно доказал гипотезу Кеплера - что максимальную плотность даёт гексагональная упаковка (или упаковка, эквивалентная ей, - кубическая гранецентрированная)�.
Почему важно замечание о бесконечном сосуде: потому что в сосуде конечного объёма начинат сказываться соотношение размеров сосуда и размера шаров, а также и форма сосуда. Согласитесь, что попытки напихать шары (горох) в круглую кастрюлю или в квадратную или в шестиугольную дадут, строго говоря, РАЗНЫЕ результаты - как раз из-за влияния формы и размеров сосуда.