Два экскаватора разных моделей вырыли котлован за 8 ч. Первый экскаватор, работая самостоятельно, может вырыть такой котлован в 4 раза быстрее, чем второй. За сколько часов может вырыть такой котлован каждый экскаватор, работая самостоятельно

Это типичная задача на производительность. Если общий объем работы не известен (как в данном случае), ее берем за 1.
Обозначим производительность (работа выполненная за единицу времени) второго экскаватора через х, тогда производительность первого будет 4*х. Значит производительность двух экскаваторов будет х+4*х = 5*х. Время их совместной работы 1/(5*х). Получим уравнение 1/(5*х)=8. Решаем его и получим значение х = 1/40. Это означает, что второй экскаватор выполнить всю работу за 40 часов, а первый за 10 часов (40/4 = 10). Ответ: 10 часов и 40 часов.
                                                                              

Можно попробовать решить эту задачку простыми пропорциями.
Совместными усилиями оба экскаватора выроют котлован за 8 часов, а так как работая в одиночку первый экскаватор сделал бы это в 4 раза быстрее второго, то работая совместно первый экскаватор за эти 8 часов выроет 4 части котлована ( точнее 4/5 котлована ), тогда как второй выроет только 1 часть ( или по другому 1/5 часть котлована ).
Теперь можно составить пропорции ( на мой взгляд, проще начать со второго экскаватора ):
второй экскаватор за 8 часов вырыл 1/5 часть котлована, а значит за Х часов он выроет весь котлован,
т.е. 8 так относится к 1/5, как Х относится к 1
8 / 1/5 = Х / 1
Х = 8 / 1/5 = 8 * 5 = 40 - столько часов потребуется второму экскаватору, чтобы вырыть весь котлован в одиночку.
Подобным образом можно найти и время, которое потребуется первому экскаватору, чтобы вырыть этот котлован:
за 8 часов он вырыл 4/5 котлована, а за У часов он сможет вырыть целый котлован,
т.е. 8 так относится к 4/5, как У относится к 1
8 / 4/5 = У / 1
У = 8 / 4/5 = 8 * 5/4 = 40 / 4 = 10 часов потребуется первому экскаватору, чтобы вырыть котлован в одиночку.
Впрочем, вычислить время, которое потратит на рытьё котлована первый экскаватор можно гораздо проще - достаточно разделить на 4 время необходимое на эту работу второму экскаватору, которое мы нашли уже выше:
40 / 4 = 10 часов потребуется на рытьё котлована первому экскаватору.
Ответ: первый экскаватор выроет котлован за 10 часов, а второй экскаватор - за 40 часов.

Ещё вариант решения задачи. Рассмотрим вырытый котлован как работу A. По определению работа это произведение мощности на затраченное время. То есть A = N * t.
Когда экскаваторы работают совместно, их мощности складываются: N = N1 + N2
и A = (N1+N2)*t. (1) Где t это время совместной работы по рытью котлована.
Когда котлован роет только первый экскаватор, то A = N1 * t1, (2) где t1 расход времени первого экскаватора при работе в одиночку.
Когда котлован роет только второй экскаватор, то A = N2 * t2, (3) где t2 расход времени второго экскаватора при работе в одиночку.
Из выражений (2) и (3) выразим N1, N1 = N2 * (t2/t1). Подставим N1 в выражение (1): A = N2*(t2/t1 + 1)*t (4). Приравняем правые части выражений (4) и (3), N2*(t2/t1 + 1)*t = N2*t2. Нетрудно видеть, что можно сократить мощность и получим выражение для расходов времени:
(t2/t1 + 1)*t = t2. Обозначим t2 = k*t1, тогда выражение приобретёт вид: t2 = t*(k + 1) или t1 = t*(k + 1)/k.
Известно, что k = 4, t = 8, тогда t2 = 8*5 = 40, t1 = 8*5/4 = 10. То есть в одиночку второй экскаватор выроет котлован за 40 часов, а первый экскаватор выроет котлован за 10 часов.

В соответсвии с условием задачи, возьмем за  1 - объем котлована.
Тогда производительность будет следующая:
х котл/час - производительность ІІ экскаватора
4х котл/час - производительность І экскаватора.
Исходя из этого получим уравнение :
(х+4х) * 8=1   , 5х*8=1   ,40х=1
х=1/40(котл/час) - производительность ІІ экскаватора
1/40*4=1/10(котл/час�) - производительность І экскаватора
1:1/40=40(час) - время работы ІІ экскаватора
1:1/10=10(час) - время работы І экскаватора.
Ответ : 10 часов и 10 часов.