Сумма восьми чисел равна 34. Оказалось, что сумма любых семи чисел из этих восьми неотрицательна. Какое наименьшее значение может принимать одно из данных чисел?

Пусть некое число a₁ будет самым наименьшим, тогда добавив любые 6 чисел к нему должны получить неотрицательную сумму, Минимальная неотрицательная сумма = 0. А добавив восьмое число к 0 получим 34. Таким образом a₈ = 34. Но поскольку, a₁ с любыми 6 числами должны в сумме дать 0, то восьмым числом может оказаться любое из семи.
То есть a₂ = a₃ = a₄ = a₅ = a₆ = a₇ = a₈ = 34
Тогда a₁ + 6•34 = 0 и a₁ = -204
Таким образом получился набор чисел
-204; 34; 34; 34; 34; 34; 34; 34
сумма всех чисел = 34
сумма любых семи ≥ 0
Докажем, что меньше нельзя
Предположим, что существует a₁ < -204, и a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆ + a₇ = 0, и a₈ = 34;
тогда -a₁ > 204 и a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆ + a₇ = -a₁ > 204
Значит одно из чисел (пусть,  например a₇) будет  > 34. Если заменим в сумме a₇ на a₈<a₇, то получим a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆ + a₈ < 0 Противоречие условию
Аналогично можно рассмотреть, когда a₁ < -204, и a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆ + a₇ = х > 0, и a₈ = 34-x;
тогда a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆ + a₇ = -a₁ + х > 204 + х или a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆ + (a₇-х) > 204
Тогда, какое-то из чисел, пусть (a₇-x) > 34 и заменив его на a₈ < 34
тем более получим a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆ + a₈ < 0 Противоречие условию
Таким образом меньше -204 число взять нельзя
Ответ: -204
                                                                              

Допустим, это числа 34, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0. Условия задачи выполняются и в этом случае наименьшее значение одного из них 0. Допустим, что наименьшее равно -1, тогда одно из чисел должно быть равно 1, самое большое число 34. И в этом случае условия выполняются. Так проверяем -2, -3 и так далее. Если одно из чисел равно -34, то условие все еще выполняется. А вот когда одно из чисел равно -35, то сумма любых 7 чисел может быть отрицательной. Поэтому думаю, что ответ: -34.