Кривая с параметром задана таким уравнением:
y^2 = x^3/(2a – x) ; в точке x0 = a

Для решения перепишу уравнение красиво: y² = x³/(2a-x), при х₀ = a
Определим сразу ОДЗ: 2a-x ≠ 0 и x³/(2a-x) ≥ 0
Заметим, что точка х₀ = a не удовлетворяет ОДЗ при a=0, так как тогда 2a - x = 0
касательная - это прямая (общее уравнение прямой y = kx+b)
Чтоб найти уравнение касательной в точке, вспомним геометрический смысл производной в точке - это угол наклона касательной (то есть коэффициент k в общем уравнении прямой kx+b). То есть k = y'(x₀); b = y₀ - kx₀
Найдем производную. Для этого преобразуем функцию, чтоб её представить в виде зависимости y(х):
y² = x³ / (2a-x) <=>
1) f(x) = √(x³ / (2a-x)), при y ≥ 0
2) f(x) = -√(x³ / (2a-x)), при y < 0
Посчитаем производную для каждого случая
1) y' = (√(x³ / (2a-x)))' =
= 1 / 2 • (1 / √(x³ / (2a-x))•(x³ / (2a-x))' =
= 1 / (2•√(x³ / (2a-x)) • ((x³)' • (2a-x) - (2a-x)' • x³) / (2a-x)² =
= (3х² • (2a-x) + x³) / (2•(2a-x)²• √(x³ / (2a-x))) =
= (-2x³ + 6ax²) / (2•(2a-x)²• √(x³ / (2a-x))) =
= (-x³ + 3ax²) / ((2a-x)² • √(x³ / (2a-x))), дальше упрощать не будем. Подставим х=a
y'(a) = (-a³ + 3a³) / ((2a-a)² • √(a³ / (2a-a))) =
= 2a³/ (a² • √a²) = 2a/|a| = (2, при a>0 или -2 при a<0)
y'(a) = 2, при a > 0; y'(a) = -2, при a<0)
Аналогично (просто поменяется знак):
2) y' = (-√(x³ / (2a-x)))' = (x³ - 3ax²) / ((2a-x)² • √(x³ / (2a-x)))
и y'(a) = -2, при a > 0; y'(a) = 2, при a < 0
Теперь считаем b, для этого надо посчитать y₀ = y(a)
1) y(a) = √(a³ / (2a-a)) = |a|, то есть a, при a>0; -a, при a<0
b = a - 2a = -a, при a>0
b = -a + 2a = a, при a<0
И уравнение получим: y = 2x-a, при a > 0
y = -2x + a, при a < 0
2) y(a) = -√(a³ / (2a-a)) = -|a|, то есть -a, при a>0; a, при a<0
b = -a + 2a = a, при a>0
b = a - 2a = -a, при a<0
И уравнение получим: y = -2x + a, при a > 0
y = 2x - a, при a < 0
То есть уравнение касательной будет задаваться несколькими уравнениями.
1) y = 2x - a, при a > 0, f(x) ≥ 0
2) y = -2x + a, при a < 0, f(x) ≥ 0
3) y = -2x + a, при a > 0, f(x) < 0
4) y = 2x - a, при a < 0, f(x) < 0
Как видим можно свести к 2 уравнениям: y = 2x-a, когда a и f(x) - одного знака (a•f(x)>0)
или y = -2x + a, когда a и f(x) - разных знаков (a•f(x) < 0)
Нормаль - это перпендикуляр к касательной в точке касания.
То есть надо уравнение перпендикулярной прямой в точке касания.
Соответсвенно будет четыре уравнения или два, если скомпоновать.
общее уравнение нормали: y = -(х-х₀)/f'(х₀)+f(х₀)
Подставляем:
1) y = -(х-a)/2 + a = -x/2 + 1,5a, при a > 0, f(x) ≥ 0
2) y = -(х-a))/(-2) - a = x/2 - 1,5a, при a < 0, f(x) ≥ 0
3) y = -(х-a))/(-2) - a = x/2 - 1,5a, при a > 0, f(x) < 0
4) y = -(х-a))/2 + a = -x/2 + 1,5a, при a < 0, f(x) < 0
Или, скомпоновав в 2 уравнения
y = -x/2 + 1,5a, когда a и f(x) - одного знака (a•f(x)>0)
или y = x/2 - 1,5a, когда a и f(x) - разных знаков (a•f(x) < 0)
Ответ: Уравнение касательной в точке х₀ = a, K:  y = 2x-a, при f(x)•a > 0 и y = -2x + a, при f(x)•a < 0
Уравнение нормали в точке х₀ = a, N: y = -x/2 + 1,5a, при f(x)•a > 0 и y = x/2 - 1,5a, при f(x)•a < 0
                                                                              

Уравнения нормалей написать не вызовет, наверное, затруднений. Может быть нужно было рассмотреть ещё случаи. Например, у(а) не равен а , а по- хорошему равен |а|