Даны две окружности (смотрим рисунок)
Радиус окружности A составляет 1/3 радиуса окружности B.
Окружность А стартует и катится по окружности B как показано на рисунке.
За сколько оборотов окружности A, её центр вернется в исходную точку?
Интересует не только ответ, но и его объяснение или доказательство.
Для справки: (данная задача была в тестовом задании SAT в 1982г) SAT - это Академический оценочный тест для приема в ВУЗы США
На решение 25 таких задач отводится пол часа времени.
В тесте предлагались варианты ответа:
(A) 3/2; (B) 3; (С) 6; (D) 9/2; (E) 9

пусть радиус большой окружности равен 3
а радиус маленькой окружности равен 1
тогда центр маленькой окружности будет двигаться по окружности радиусом 3 + 1 = 4 и пройдет путь 2π*4 = 8π
при этом мы считаем обороты маленькой окружности именно вокруг ее центра
а один оборот вокруг своего центра, маленькая окружность совершает, когда ее центр пройдет расстояние 2π*1 = 2π
значит маленькая окружность окружность вокруг своего центра совершит:
8π / 2π = 4 оборота
                                                                              

Правильно решить задачу о катящейся окружности по другой окружности мог бы только выпускник технического ВУЗа, но не абитуриент. Наверняка, ни в американских школах, ни в российских не преподают в рамках математики планетарные механизмы. Хотя, это можно и оспорить.
На рисунке из Вики представлена схема (аналогичная задаче) планетарной передачи и формула для расчёта скорости n (красный цвет соответствует ведомому колесу). Скорости можно заменить на количество оборотов.
Ведущим (синий цвет) является водило, и оно делает один оборот. Чёрным обозначено неподвижное колесо. Соотношение зубьев z/z можно заменить соотношением радиусов большей окружности к меньшей — 3/1.
В результате получается n = 1 • (1 + 3/1) = 4 оборота.
Как видим из формулы, даже при соотношении радиусов 1/1, один оборот всегда прибавляется.
Там же упоминается, что вывод формул для планетарных передач подтверждается уравнением Чебышева. Наверное, если бы составители задания SAT в 1982 г, что-либо знали об этом, то тогда бы не появился "парадокс вращения монеты".
В общем случае задача решается через путь, пройденный центром вращения окружности, для которой подсчитываются обороты. При этом не важно, будет ли траектория центра прямой или криволинейной линией, окружность радиуса r делает оборот при перемещении на расстояние l = 2Pi•r. Если длина пути равна L, то количество оборотов составит n = L/l.
В нашем случае путь равен L = 2Pi•(R + r). Значит,
n = 2Pi•(R + r) / 2Pi•r;
n = (R + r) / r;
n = R/r + 1
n = 3/1 + 1 = 4 оборота.

Да, соглашусь, что задача не так проста, как может показаться на первый взгляд. Правильный ответ будет 4, но его нет в предложенных вариантах. Если бы малый круг катился по прямой длиной 6*Pi*R, то тогда действительно было бы 3 полных оборота. Но поскольку он катится по окружности и совершает за пройденный им путь ещё одно дополнительное вращение на 360 градусов, то получается 3+1=4 оборота. В принципе, это вполне себе астрономическая задачка, которую можно подтянуть к вращению Луны вокруг Земли.
Да, соглашусь, что в 1982 году физмат в Штатах ещё умели преподавать, в отличие от нынешних времён, когда вот такие тесты, как на картинке ниже, проходят в основном не самые умные, а самые сильные.

Я дал неверный ответ, удалив его. Это вторая попытка.
Если радиус малой окружности А равен одной единице, то её длина равна 2¶, тогда радиус большой окружности В будет равен трём единицам, а её длина равна 6¶.
Соединим центры окружностей отрезком АВ. Отрезок АВ сейчас расположен горизонтально. Прокрутим окружность А так, чтобы отрезок АВ повернулся на 90 градусов, так, чтобы он стал вертикальным.
При этом малая окружность А прокатится по четверти большой окружности В, то есть, по дуге длиною 1.5¶, эта дуга на малой окружности будет составлять 0.75 от полного оборота, но при этом малой окружностью А будет сделан ещё оборот на 90 градусов, то есть, на 0.25 оборота. В сумме это получается полный оборот.
Но малая окружность при этом прошла только четверть своего пути, значит, всего будет ею сделано 4 оборота.
Такой же ответ дал Ракит�ин Серге�й во втором своём варианте ответа.   

Не понимаю, в чём парадоксальность задачи. Если окружность В неподвижна, а вы это не уточнили, то правильный ответ (В)3. Если окружность В вращается, то задача не решаема без дополнительных условий.