Если взять любое нечетное число, возвести его в пятую степень и вычесть из результата исходное число, то результат обязательно делится на 240 без остатка! Это настолько поразительно, что кажется невероятным. Тем не менее, это факт.
Но вот почему?

Разложим выражение K^5-K на множители. Получим: K^5-K=(K-1)*K*(K+1)* (K^2 +1).
Фрагмент (K-1)*K*(K+1) представляет собой произведение трёх, следующих друг за другом натуральных чисел. Значит одно из них кратно 3. Поскольку K - нечётное, то (K-1) и (K+1) - четные, причём следуют друг за другом, значит одно из этих чисел кратно 4. а в целом произведение (K-1)*K*(K+1) кратно 24. Поскольку K - нечётное, то (K^2+1) - чётное, значит (K-1)*K*(K+1)*(K^2+1�) кратно 48.
Представим (K^2+1) в виде (K^2-4+5)= [(K-2)*(K+2)+5].
Тогда получаем выражение: (K-1)*K*(K+1)*[(K-2)�*(K+2)+5]=
=(K-2)*(K-1)*K*(K+1)�*(K+2)+5*(K-1)*K*(K+1�).
В первом слагаемом ряд (K-2)*(K-1)*K*(K+1)* (K +2) - это пять последовательных натуральных чисел, значит одно из них кратно 5, а второе слагаемое тоже кратно 5. Значит и всё выражение (K-1)*K*(K+1)*[(K-2)�*(K+2)+5] кратно 5. Таким образом доказано, что K^5-K при любом нечётном K кратно 240.
                                                                              

Для начала (К^5 - К) можно записать в виде К*(К^4 - 1).
По условию К нечетно, то есть его можно представить в следующем виде
(2а + 1), где а - целое число.
Подставим это выражение в  К*(К^4 - 1) и получим
(2а + 1)*((2а + 1)^4 - 1) = 8а*(2а + 1)*(2а^2 + 2а + 1)*(а + 1).
Очевидно, что полученное произведение делится на 8. Осталось доказать, что а*(2а + 1)*(2а^2 + 2а + 1)*(а + 1) делится на 30. Данное произведение четно, поскольку либо а, либо (а + 1) делится на 2.
Теперь нужно доказать, что это произведение делится еще и на 15, то есть одновременно и на 3 и на 5.
Перепишем наше выражение в следующем виде
а*(2(а + 2) - 3)*(2а^2 + 2а + 1)*(а + 1).
Если а кратно трем, тогда и все выражение делится на 3. В противном случае на три должно делиться либо (а + 1), либо  (а + 2), при этом, если (а + 2) делится на три, то и (2(а + 2) - 3) делится на 3.
Т.о., при любом а наше выражение кратно трем.
Теперь допустим, что а делится на 5, тогда и все выражение также делится на 5. Иначе на пять должно делиться либо (а + 1), либо  (а + 2), либо  (а + 3), либо  (а + 4).
С (а + 1) все ясно, оно является одним из сомножителей.
Если  (а + 2) кратно пяти, то и
2а^2 + а + 1 = 2(а + 2)^2 - 6(а + 2) + 5
делится на 5.
Если (а + 3) кратно пяти, то и
(2а + 1) = 2(а + 3) -5
делится на пять.
Если  (а + 4) кратно пяти, то и
2а^2 + а + 1 = 2(а + 4)^2 - 14(а + 4) + 25
делится на 5.
Т.о., при любом а наше выражение кратно пяти.
Вроде все.

Это на раз доказывается методом математической индукции.
Для начала отметим, что если два числа делятся на какое-то третье, то и их разность тоже делится на это третье. То есть если М1 и М2 оба делятся на 240 (как в нашем случае), то разность М2-М1 тоже делится на 240.
Из чего следует, если М1 делится на 240, то М2=М1+240 тоже делится на 240.
Теперь обратим внимание, что при k=1 (как, кстати, и при k=3) рассматриваемое равенство соблюдается, что проверяется прямым вычислением.
Ну и рассмотрим разность этих выражений для двух последовательных значений k. Отметим, что два последовательных нечётных числа отличаются на 2, поэтому для удобства обозначим их как 2n-1 и 2n+1, n - произвольное целое, большее 1.
Тогда путём несложных, но требующих аккуратности вычислений можно показать, что разность
[(2n+1)^5-(2n+1)] - [(2n-1)^5-(2n-1)] = 80n²(2n²+1).
Значит, что разность делится на 80, мы видим сразу. Осталось разобраться с делимостью на 3.
Если n делится на 3, то разность делится и на 240.
Если n не делится на 3, то у нас или n=3m+1, или 3m+2 (где m - опять же произвольное целое). Не штука убедиться, что для обоих этих случаев 2n²+1 делится на 3. Тем самым разность делится на 240 при любом произвольном n.
А значит, если исходное выражение делится на 240 при каком-то k (а при k=3 мы уже знаем, что это так) и значение этого выражения при следующем k отличается на число, кратное 240, то оно будет делиться и при любом значении k.
Что и требовалось доказать.

Первое число соответствующее условию вопроса это 3^5-5=243-3=240. Любое нечетное число К можно представить в виде суммы (3+2*n), тогда K^5 - K = (3+2*n)^5 - (3+2*n)=         ((3+2*n)*(3+2*n)^4-1�), 3^4-1=81-1=80. Произведение 80*(3+2*n) будет содержать сомножитель 240, что и требовалось доказать.

Можно подставить. При подставлении 3 подучится так: ((3^5)-3)/240= 240/240=1. Если подставить 5,то выйдет так: ((5^5)-5)/240=3120/2�40=13.Вот.