Как решить задачу (ЕГЭ математика)?
Виктор Михайлович положил в банк 96000 рублей. Несколько лет ему начислялись то 5%, то 10% годовых, а за последний год начислили 25% годовых. При этом проценты начислялись в конце каждого года и добавлялись к сумме вклада. В результате его вклад стал равным 160083 рублей. Сколько лет пролежал вклад в банке?

               Вполне логично предположить, что после того, как на вклад начислил 5% сверху, то его общая цена увеличилась в 1,05 раз. Аналогично на 10% - 1,1 раз; 25% - 1,25 раз.
Поскольку деньги в банке на 5% и 10% лежали неизвестное количество лет, то предположим, что на 5% они лежали n лет, а на 10% деньги находились k лет. На 25% вклад находился только один год - последний.
Учитывая, что в самом конце вклад составил 160083 рубля, получим следующее уравнение:
96000 * 1,05^n * 1,1^k * 1,25^1 = 160083
120000 * 1,05^n * 1,1^k = 160083
Далее домножим обе части уравнения на 100^n и 10^k:
120000 * 105^n * 11^k = 160083 * 100^n * 10^k
После разложим на множители обе части уравнения и сократим то, что можем:
40000 * 5^n * 7^n * 3^n * 11^k = 53361 * 100^n * 10^k
Разложу 53361 на отдельные множители:
53361 = 3^2 * 7^2 * 11^2
Получается:
40000 * 5^n * 7^n * 3^n * 11^k = 3^2 * 7^2 * 11^2 * 100^n * 10^k
При n = 2 и k = 2, получаем:
40000 * 5^2 * 7^2 * 3^2 * 11^2 = 3^2 * 7^2 * 11^2 * 100^2 * 10^2
Поделив на 3^2, 7^2, 11^2, получим:
40000 * 5^2 = 100^2 * 10^2
1000000 = 1000000
Равенство верное, следовательно вклад лежал на 5% они лежали 2 года, а на 10% деньги находились 2 года, и на 25% - ещё целый год.
Итого получаем: всего вклад в банке находился 2 + 2 + 1 = 5 лет.
Ответ: вклад в банке пролежал 5 лет.