Он заметил, что ему все равно, к какой остановке идти.
То есть, например, он идёт к 1 остановке, против движения автобуса. Допустим, что он приходит на остановку, и одновременно приезжает автобус, и он сразу садится.
Если же он выйдет в это же время и пойдёт ко 2 остановке, по ходу движения, то этот же самый автобус его догонит, и опять он придёт на остановку одновременно с автобусом.
Это и означает, что ему все равно, к какой остановке идти.
А теперь внимание, вопрос:
Если расстояние между остановками считать за 1, то на каком расстоянии от первой остановки стоит его дом?
Рассмотреть разные случаи для разного соотношения скоростей человека и автобуса.
В том числе случай, когда человек едет, например, на роликах, быстрее автобуса.

Пусть человек доходит от дома до второй остановки за время t2, до первой - за время t1. Ровно столько же времени потребуется человеку чтобы дойти от первой остановки до дома. Таким образом, на путь от первой остановки до второй человеку требуется время (t2+t1).
Автобус за время t1 подходит к первой остановке, за время t2 - ко второй. Значит от одной остановки до другой он проходит за время (t2-t1).
Пусть скорость человека х, а скорость автобуса в k раз больше, т.е. k*x. Расстояние между остановками  (t2+t1)*х=(t2-t1)*k*�x. Получаем уравнение: (t2+t1)=(t2-t1)*k (1).
Тогда отношение расстояния от дома до первой остановки к расстоянию между остановками (обозначим его "а") равно а=t1/(t2+t1). Выразив время t2 через t1 и k, и подставив его в выражение для а и проведя преобразования, получим очень простую формулу: а=0,5-0,5/k.
График зависимости а от k (а - ордината, k - абсцисса), представляет собой гиперболу с асимптотами "отрицательное направление оси ординат" и прямой а=0,5.
Из него сразу становится ясно, что k >= 1, и значения а лежат в пределах 0<=а<0,5.
P/S. Задачу решил сразу же как ознакомился с условием, но буквально тут же попал "в бан", а когда бан закончился, были уже представлены все решения, в том числе и авторское. Некоторое время размышлял, стоит ли представлять свой вариант, но решил всё-таки стоит, так как мой вариант проще и нагляднее всех других.
                                                                              

Напишу правильное решение.
Обозначим скорости автобуса и пешехода va и vp.
Пусть в момент выхода из дома расстояние автобуса от 1 остановки равно S, а от 2 остановки S+1.
Расстояние от дома до 1 остановки x, до 2 остановки 1-x.
Время, за которое пешеход дойдёт до 1 остановки, равно времени, за которое автобус доедет до этой же 1 остановки.
t1 = S/va = x/vp
Время, за которое автобус и пешеход дойдут до 2 остановки
t2 = (S+1)/va = (1-x)/vp
Составляем пропорции
S*vp = x*va
(S+1)*vp = (1-x)*va
Раскрываем скобки
S*vp = x*va
S*vp + vp = va - x*va
Подставляем 1 уравнение во 2 уравнение
x*va + vp = va - x*va
2x*va = va - vp
x = (va - vp)/(2*va) = 1/2 - vp/(2*va)
Вот насколько дом левее середины отрезка между остановками.
Если скорость va = vp, то
x = 1/2 - 1/2 = 0
Дом должен находиться на 1 остановке.
Если скорость пешехода в 2 раза меньше скорости автобуса, то
x = 1/2 - 1/4 = 1/4 расстояния между остановками.

Вариант, что человек движется быстрее автобуса (или с одинаковой с ним скоростью) можно выкинуть из рассмотрения вовсе - ибо в этом случае автобус его никогда не догонит, когда человек движется в сторону 2-й остановки.
Остаётся вариант, что человек движется медленнее автобуса.
Тогда ясно, что расстояние от его дома до 1-й остановки должно быть меньше половины единицы.
Насколько меньше, зависит от соотношения его скорости и скорости автобуса.
Скорость автобуса больше скорости человека в ((1-2х)/х), где х - расстояние до первой остановки.
Например, если расстояние до 1-й остановки равно 0.1 (от той единицы, что составляет расстояние между остановками), то скорость автобуса больше в 4-ре раза.
Если если расстояние до 1-й остановки равно 0.2, то скорость автобуса больше в 3-и раза.

Довольно неожиданная задача.
Примем обозначения.
В таком случае несложно составить расчет выхода пешехода к первой и второй остановкам. А также введем коэффициенты скоростей и расстояний.
Приравняем скорости t1 и t2. В результате преобразований почти все сократится и останется простенькое выражение, определяющее взаимосвязь между коэффициентами расстояний (k) и скоростей (p).
Произведем замену.
Получим такой график, который даст ответ на все поставленные вопросы.
Соотношение скоростей не может быть больше 1. То есть, автобус всегда быстрее. В случае равенства скоростей (p=1), человек должен жить на первой остановке. Если он не сядет в автобус, то одновременно с ним достигнет второй остановки. Если p=0, то есть скорость пешехода равна нулю, то жилище должно находится на середине пути, поскольку все равно куда идти, а точнее НЕ идти.
Пример: точка на графике.
Если скорость человека в половину от скорости автобуса, то он должен жить на четверти пути от первой остановки.
И напоследок маленькая игрушка.
Предположим между остановками 1.5 километра. Скорость автобуса 30 км/ч, пешехода 5 км/ч. В таком случае он должен искать жилье на расстоянии 625 метров от первой остановки.
ССЫЛКА НА МАКЕТ
P.S.
Выставил ответ и увидел ответ автора, который появился на пол часа раньше. Мне не хочется удалять свой ответ. Я на него потратил время и желание.

Пусть дом находится на расстоянии х от первой остановки.Тогда х+(1-х)=1.Пусть С -расстояние от автобуса до первой остановки,п- скорость автобуса,н-скорость человека,м- первое время( время движения автобуса и человека до первой остановки),т- второе время ( время движения автобуса и человека до второй остановки) Составим выражения С=мп. х=мн. С+1=тп. 1- х=тн.Решая их получим зависимость п/н=1/(1-2 х) .Получается что по условиям задачи должна быть вот такая связь между этими тремя величинами.Параметр х вообще- то лежит в пределах 0<х< 1 ,но значения х большие или равные 1/2 не имеют смысла( получается что отношение скоростей- отрицательная величина или бесконечная ).И ещё,в целом вся эта дробь больше единицы,поэтому в том случае если скорость человека превышает скорость автобуса тоже получается что дробь меньше единицы а значит (1-2 х)>1  ,отсюда 2х < 0, что противоречит условию.То есть нормальные варианты получаются только в том случае если человек живёт ближе к первому дому и скорость автобуса превышает скорость человека.

Дом находится посредине между остановками, то есть 0,5 расстояния от дома до каждой из остановок. В таком случае неважна скорость и способ передвижения от дома до остановок. Время всегда будет равное и никакого выигрыша не будет в вариантах, то есть выходить можно в одно и то же время из дома, чтобы попасть на этот автобус. Выигрыш мог бы быть, если бы проезд оплачивался по километрам, а не так, как сейчас в городе платят все одинаково, независимо от длительности. Ну и выигрыш может быть тогда, когда автобус может не прибыть и придется далее идти пешком. Тогда лучше шагать до остановки, которая ближе к пункту назначения. Еще не рассматриваем случай, когда дорога идет под уклон, об этом ничего не говорится. Тогда легче идти к той остановке, к которой дорога идет вниз. Расстояние может быть больше, скорость выше, а время - одинаковое. То же самое с ветром, он может быть попутным или встречным. Но, по условию задачи, пешеходу все равно как идти, значит, дорога ровная, ветра нет, как и собак, хулиганов и т.п.