Как это решить Как найти изображение оригинала (e^(2*t)*sin(t)) / t?.

Преобразование ЛапласаПреобразование Лапласа для функции f(t) для переменной t имеет вид: L(s) = f(t)e^(-s*t)dt
При этом сама функция f(t) считается оригиналом, а преобразование L(s) - изображением.
Воспользуемся тем же пакетом Octave Online. Для вычисления изображения оригинала будем использовать встроенную функцию laplace(F,t,s).
Определим переменные t и s как символьные переменные. Для этого введем команду: syms t s;Вызовем функцию преобразования. Для этого введем команду: F = laplace((exp(2*t)*si�n(t))/2,t,s);Выведем символьное представление на экран. Для этого в командной строке напишем имя переменной F и нажмем "ввод". Получим результат.                                                                              

Jek Lord,
первый же найденный гуглом сайт содержит таблицу
оригиналов и изображений.
Там в 8-й строчке есть подходящий оригинал и соответствующее ему изображение.
Подставив а=2, ω=1, получаем искомое изображение.

Это изображение можно построить в любом пакете типа Matlab. Для этого не обязательно устанавливать этот пакет на компьютер. Можно воспользоваться онлайн-продуктами аналогичного уровня. Один из таких онлайн-пакетов Octave Online.
 На его примере я и покажу как построить график этой функции.
Определим диапазон для переменной t. Назначим его в пределах от 0 до 2пи с шагом в пи/360. Для этого в командной строке введем выражение: t = [0:pi/360:2*pi]; и получим массив из 361 значения t.  Затем вычислим наше выражение и поместим его в массив F. Для этого в командной строке введем выражение: F = (exp(2*t).*sin(t))./�t; и получим массив из 361 вычисленного значения.  Затем построим график вычисленной функции. Для этого введем команду: plot(F); и получим желаемый график. Для того, чтобы по оси Х у нас отображались значения t, модернизируем команду: plot(t,F); и получим окончательный вариант.

Надо вспомнить - ну или прочитать про это в учебнике - свойства преобразования Лапласа. В частности: 1) умножение на exp(2t) соответствует замене s на (s-2) в изображении такой функции; 2) деление оригинала на t соответствует  интегрированию изображения.
Поэтому берём "ядро" оригинала. Это sin t. Изображением синуса единичной частоты будет 1/(s²+1). Умножение этого синуса на экспоненту превратит это выражение в такое: 1/[(s-2)²+1]. Ну и деление на t - это взять неопределённый интеграл от вот такой функции от s, что не составит труда. Замена переменной z=s-2 мгновенно приводит к табличному интегралу.
Ну а нарисовать график - дело, конечно, не вредное, но в вопросу отношения не имеющее...