Как решить Как вычислить длину периметра правильного 8-ми угольника без тригонометрии?.

Не поверите.. но для этого нужно всего лишь умножить длину стороны восьмиугольника на 8.

Известно соотношение:
r=x*sqrt(a/(a-1)),
где
r - радиус описанной окружности,
х - сторона 8-угольника,
а  - константа, равная 1+sqrt(2)
Из этого соотношения легко вывести значение х, которое нужно умножить на 8.
предоставляю это автору вопроса.
В вопросе не указано, что можно использовать радиус описанной окружности,
если нельзя, то этот ответ прошу считать недействительным.

Более понятная и простая формулу для стороны 8-ми угольника: Х=√(2-√2)=0,765... .