Дан равносторонний треугольник ABC площади 216. Внутри него закрасили красным цветом точки, для которых вершина A является не самой ближней и не самой далёкой. Какую площадь имеет закрашенная часть треугольника?

Для решения задачи попробуем понять, что же за фигура получится из таких точек по условию. Когда расстояние от заданной точки будет до A будет не меньше, чем до другой вершины, но не больше чем до третей вершины. Для этого нарисуем рисунок и сначала отметим точки равноудаленые от вершин. Для этого проведем медианы (они же биссектрисы и высоты в равностороннем треугольнике). Смотрим рисунок
Например точка О (точка пересечения медиан) равноудалена от всех вершин - она подходит. Все точки находящиеся ниже медианы СК будут ближе по расстоянию к точке B чем к A, а точки правее медианы AM будут ближе к точке A, чем к точке C. Таким образом пересечение этих множеств даст множество точек ∆BKO, которые самое короткое расстояние из вершин имеют к вершине B, а самое длинное к вершине C или равные расстояния к вершине A в сравнении с другими вершинами, что тоже устраивает;
Аналогично, множество точек ∆CNO будет иметь наименьшее расстояние до вершины C, а наибольшее до вершины B или равные расстояния до вершины A с другими вершинами.
Все остальные точки в треугольнике имеют расстояние до точки A или самое короткое или самое длинное.
Таким образом надо посчитать площади этих двух одинаковых треугольников.
Рассмотрим ∆AOB и ∆ACB у них общая сторона AB и разные высоты КО и КС. Соответсвенно площади этих треугольников относятся как высоты. Но высоты это части медианы которая в точке O разделена как 2 к 1. То есть СК - 3 части, а КO - 1 часть (в 3 раза меньше)
Значит площадь ∆AOB в 3 раза меньше площади ∆ACB и равна 216:3 = 72
Теперь рассмотрим ∆BKO и ∆ABO. У них общая высота KO, а сторона BK в 2 раза меньше AB, значит площадь ∆BKO в 2 раза меньше ∆ABO.
Но так как ∆BKO = ∆CNO, то искомая площадь равна площади двух ∆BKO, а значит равна 76
Ответ: Площадь равна 76