Петин счет в банке содержит 500 долларов. Банк разрешает совершать операции только двух видов: снимать 300 долларов или добавлять 198 долларов. Какую максимальную сумму Петя может снять со счета, если других денег у него нет

Вначале мне показалось, что путем многочисленных манипуляций можно снять все 500,но оказалось не всё так просто.
Пусть Х -количество снятий, У -количество внесений. Получим следующее уравнение с двумя неизвестными:
300Х-198У=500
Причем по условию Х<У, так как других денег нет.
Представим уравнение в виде:
3(100Х-99У)=500
Левая часть уравнения кратна 3, а правая нет, поэтому натуральных значений Х и У нет. Подберём наибольшее число меньше 500 кратное 3, оно и будет решением задачи.
Ответ:Максимальная сумма, которую Петя сможет снять 498 долларов
                                                                              

Действительно,  34  раза  снять  по  300  долларов  и  49  раз  внес  по  198.  Я  взял  -  и  проверил.
Первые  шаги:  500   -  200  -  398  -  98  (здесь  дважды  снял  и  один  раз  внес)
Дальше:  296  -  494  -  194  -  392  -  92  (серия  из  5  транзакций,  два  раза  снял  и  три  раза  внес).  В  результате  завершения  серии  на  счету  осталась  сумма  на  6  долларов  меньше,  чем  в  начале.  В  дальнейшем  просто  идет  повтор  этих  серий  с  уменьшением  по  итогам  каждой  вклада  на  счету  еще  на  6  долларов.
Таким  образом,  чтобы  довести  98  долларов  до  минимума,  нужно  16  серий  (16 * 6 + 96),  в  результате  получим  остаток  в  2  доллара,  который  снять  уже  в  принципе  невозможно.  За  16  серий  32  снимал  и  48  раз  вносил,  пляс  в  самом  начале  имели  место  два  снятия  и  один  взнос.
Результат  -  34   раза по  300  и  49  раз  по  198.

Ответ уже есть,но хотелось бы узнать сколько манипуляций совершил Петя.
Воспользуемся правильным ответом автора "Незнайкина",точнее вполне логичным равенством из текста её ответа:
300х-198у=498 или
100х-66у=166 или
50х-33у=83 или
50х-80=3+33у
10(5х-8)=3(1+11у)
отсюда 5х-8 кратно 3,а 1+11у кратно 10
Отсюда возможное решение у=9 -не подходит.
Следующее решение у=19-тоже не подходит
следующее решение у=29-тоже не подходит
у=39-не подходит.
Ответ: у=49,а х=34- проверка 300*34-198*49=10200-9702=498
то есть Пете понадобилось 34 раза снимать по 300 долларов и 49 раз вносить по 198 долларов.
М" да,заморочки у него.

Снять и вложить и снять. Получим 402доллара,остаётся 98$ Если вложить снова 198$ то на счету будет 296$ (меньше 300 ) и ещё вложить 198$,то на счету будет уже 494$ (а на руках 6$).Снимем 300 (станет 306$ на руках) и  счет 194$.Закинем198 счет станет 392$.( на руках 108$).Снимем 300 (руках 408$),на счету 92$ и все повторить! ?
Остаток уменьшается на 6$.Тогда 92/6=15циклов и 2$останется на счету.
Снимет 498$.

Пете нужно снять 300 долларов и возвратить  назад 198 долларов их этих снятых 300 долларов, у Пети останется 102 доллара, а на его счету станет 398 долларов. Потом Пете нужно снять ещё раз 300 долларов, таким образом Петя снимет в общей сложности 402 доллара.

Если речь идет об единственно возможной банковской операции - то как раз именно эти 300 долларов.