В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S и основанием АВС сторона основания равна 9, а высота равна 3. На ребрах АВ, АС и АS отмечены соответственно точки M, N и К такие, что AM=AN=AS, AK=4.
а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Найдите объем пирамиды KSBC.

Построим пирамиду согласно условию на рисунке.
Доказываем "а)"
1) Так как AM = AN и AB = AC, то AN/AC = AM/AB. Таким образом прямые MN и BC отсекают пропорциональные отрезки на прямых AB и AC, следовательно по обратной теореме Фалеса MN || BC
2) Найдем AS из прямоугольного ∆AHS. Для этого потребуется найти AH. Высота правильной пирамиды падает в ортоцентр. То есть H - центр описанной окружности правильного ∆ABC
HA - радиус описанной окружности правильного треугольника
HA = R = a/√3 = BC/√3 = 9/√3 = 3√3
Тогда по теореме Пифагора AS² = AH² + HS² = (3√3)² + 3² = 27 + 9 = 36
AS = √36 = 6
3) Так как AM = AS = 6, то AM/AB = 6/9 = 2/3 и AK/AS = 4/6 = 2/3. То есть Прямые MK и BS  отсекают пропорциональные отрезки на прямых AB и AS, следовательно по обратной теореме Фалеса MK || BS
4) Две пересекающиеся прямые MN и MK плоскости (MNK) параллельны соответсвенно двум пересекающимся прямым BC и BS плоскости (BCS), следовательно эти плоскости параллельны.
Ч.т.д.
Решаем "б)"
Для этого перерисуем рисунок обозначив стороны пирамиды
 5) Пирамиду ABCS можно составить из 2-х пирамид ABCK и KSBC
Тогда объем V(KSBC) = V(ABCS) - V(ABCK)
6) Объем пирамиды V(ABCS) = (1/3)•S(∆ABC)•SH
S(∆ABC) = 9²•√3/4 = 81•√3/4
V(ABCS) = (1/3)•81•√3•3/4 = 81•√3/4
7) Найдем высоту KG пирамиды ABCK
Точка G будет на отрезке AH, так как AH - проекция AS
Рассмотрим подобные ∆KGA и ∆SHA (по двум углам: прямые углы и угол A общий)
Тогда KG/SH = KA/SA = 2/3
KG = 2SH/3 = 2•3/3 = 2
Объем V(ABCK) = (1/3)•S(∆ABC)•KG =  (1/3)•81•√3•2/4 = 54•√3/4
9) V(KSBC) = 81•√3/4 - 54•√3/4 = 27•√3/4
Ответ: V(KSBC) = 27•√3/4