На сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС, площадь которого равна 75, расположены точки M, N и K соответственно. Известно, что M - середина AB, площадь треугольника BMN равна 15, а площадь треугольника AMK равна 25. Найдите площадь треугольника CNK.

Никто так и не взялся за решение этой задачи за сутки. Что же, придётся любителю треугольников попробовать силы. При этом следует заметить, что всё было бы гораздо проще, если бы мы имели дело со средней линией. То есть, если бы не только сторона AB делилась точкой M пополам, но и сторона AC точкой K рубилась поровну. Но в условии задания ничего такого не говорится. Следовательно, точка K может оказаться где угодно. Как же тогда найти решение?
Давайте посмотрим со стороны, например, на пару треугольников ∆ABC и ∆AMK. Известно, что сторона MB вдвое меньше стороны AB. И только. Маловато будет. Хотя, с другой стороны, у нас ведь есть ещё один общий угол для обоих треугольников - ∠A. А в этом случае можно вспомнить одно любопытное свойство треугольников:
То есть мы имеем следующее:
S(amk) / S(abc) = (MA * AK) / (BA * AC)25 / 75 = (MA * AK) / (2 * MA * AC)1 / 3 = AK / (2 * AC)2 / 3 = AK / AC, отсюда KC = AC / 3 Не забываем и о том, что у нас есть ещё один треугольник с известной площадью, а него тоже одна сторона равна половине AB. И ведь у него тоже один из углов общий с треугольником ABC - это ∠B. И тем же методом мы можем получить:
S(bmn) / S(abc) = (BM * BN) / (BA * BC)15 / 75 = (BM * BN) / (2 * BM * BC)1 / 5 = BN / (2 * BC)2 / 5 = BN / BC, отсюда NC = 3/5 от BCИ теперь самое время обратить внимание на третий угол ∠C, который является общим для ∆ABC и ∆CNK, что позволяет нам использовать всё тот же метод для вычисления искомой площади S(cnk):
S(cnk) / S(abc) = (NC * KC) / (BC * AC) илиS(cnk) = (NC / BC) * ( KC / AC) * S(abc), а площадь и пара соотношений нам известны:S(cnk) = 3/5 * 1/3 * 75 = 1/5 * 75 = 15 см²Если я ни в чём не ошибся при расчётах, треугольник ∆CNK также имеет площадь 15 см².
Так что на самом деле ничего сложного в этом задании не было, если держать в памяти эту самую четвёртую теорему из метода площадей. Либо, если всё-таки не помните, как и я на самом деле, ищите что-то общее для фигур и спрашивайте у Яндекса - как найти то или иной при тех или других общих параметрах. Он обязательно подскажет. Удачи на дорогах!