В XIX веке один учитель дал задание своим ученикам вычислить сумму всех целых чисел - от единицы до ста. Компьютеров и калькуляторов тогда не было, и ученики принялись добросовестно складывать числа. И только один ученик нашёл правильный ответ всего за несколько секунд. Им оказался Карл Фридрих Гаусс - будущий великий математик. Как он это сделал?

Давайте заметим, что сумма таких пар чисел, как 1 и 100, 2 и 99, 3 и 98, и так далее вплоть до пары 50 и 51, одинакова и равна 101. Также заметим, что всего пар 50. Отсюда следует, что сумма всех чисел от 1 до 100 равна 50 * 101 = 5 050. Вообще есть много задач, где нужно подумать, как скомбинировать числа, чтобы гораздо проще посчитать их сумму. Вот одна из них, конечно, если вы не проходили арифметические прогрессии. Если же вы их прошли, то это задача не становиться для вас интеллектуальной, так как вы просто считаете по формуле суммы для арифметической прогрессии: S = (a1 + an) / 2 * n. Для нашего случая это S = (1 + 100) / 2 * 100 = 5 050. Всё сходится.
                                                                              

Этот вопрос задавался уже на БВ..
Маленький Гаусс просто догадался, что есть особенность, что сумма самого последнего и самого первого чисел равна 101, предпоследнего и второго также 101 и т.д., таких пар будет половина от всего заданного ряда чисел..
Получится 101х100/2=10100/2=50�50..
Вообще такая зависимость называется арифметическая прогрессия..
А Гаусс посчитал сумму первых 100 чисел арифметической прогрессии, быстро выведя формулу..