Дима написал на доске семь различных натуральных чисел. Потом некоторые из них он умножил на 2, а остальные на 3. Какое наименьшее количество различных результатов он мог получит?

В данной задаче чтоб получить наименьшее количество различных результатов, надо получить как можно больше совпадающих результатов.
Тогда оценим, когда можно получить совпадающие и сколько.
При умножении различных чисел на одно и тоже число будем получать различные результаты.
То есть если все умножим на 2 или все умножим на 3 будет 7 различных результатов.
Но если подобрать числа кратные 3, то есть число 3•n и умножить на 2 получим 3•2•n = 6n
И так же взять числа кратные 2, то есть число 2•n и умножить на 3 получим 2•3•n = 6n
То есть из 2 различных чисел вида 2n и 3n можно получить одинаковые результаты
Таким образом из 7 чисел можно выбрать, только 3 пары чисел из которых будут 3 одинаковых результата.
А всего результатов 7 из которых 3 - одинаковые, значит 7-3 = 4 - различные и это минимум. Потому что больше совпадений быть не может.
Ответ: минимум 4 различных результата
                                                                              

Числа (2*3)*2 и (2*3)*3, умноженные на 3 и на 2 соответственно, дадут одинаковый результат.
Также пара (2*3)*(2*3)*2 и (2*3)*(2*3)*3 даст одинаковый результат.
И ещё пара (2*3)*(2*3)*(2*3)*2 и (2*3)*(2*3)*(2*3)*3 тоже даст одинаковый результат.
Итого, несть чисел, три различных результата.
Седьмое число заведомо тоже даст уникальны результат, не важно, умножать его на 2, или на 3.
Итого - минимум четыре разныъх результата.