В клетках квадратной таблицы 5х5 расставлены числа таким образом, что в каждой строке и каждом столбце сумма всех чисел целая. Сумма всех чисел таблицы равна 11. Докажите, что в какой-то клетке стоит число, не меньшее 3/5.

Пусть S1; S2; S3; S4; S5 - сумы строк и это по условию целые числа.
По условию S1 + S2 + S3 + S4 + S5 = 11
Если S1≤2; S2≤2; S3≤2; S4≤2; S5≤2, то S1 + S2 + S3 + S4 + S5 ≤ 10 < 11, что не удовлетворяет условию. То есть все суммы меньше 3 быть не могут, значит есть сумма Sn≥3
Пусть это будет не теряя общности первая сумма S1 ( S1≥3)
Тогда a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = S1 ≥ 3, где a1; a2; a3; a4; a5 - клетки данной строки
Пусть: a1 < 3/5; a2 < 3/5; a3 < 3/5; a4 < 3/5; a5 < 3/5, тогда a1 + a2 + a3 + a4 + a5 < 3/5 + 3/5 + 3/5 + 3/5 + 3/5 = 15/5 = 3. Получили противоречие, так как сумма должна быть не меньше 3
Значит в одной из клеток есть число ≥ 3/5, что и требовалось доказать