В задаче рассматриваются прямоугольные треугольники, в которых длины всех сторон являются натуральными числами.
А) Длина одной из сторон равна 17. Найдите длины всех сторон треугольника.
Б) Периметр треугольника в 24 раза больше длины одной из сторон. Найдите длины сторон треугольника, если одна из них является простым числом.
В) Высота, опущенная на гипотенузу, равна 120. Найдите длины сторон треугольника.

А) Ищем длины всех сторон треугольника если одна из сторон равна 17, возможны варианты
Если гипотенуза равна 17, то сумма квадратов сторон равна 17*17=28916²=256; 289-256=33 этот вариант не подходит
15²=225;289-225=64 этот вариант подходит (64=8²)
Стороны треугольника равны 8;15;17
Если катет равен 17Другой катет равен 144
144²+17²=20736+289=2�1025=145²=21025
Стороны равны 144,17 и 145
Б) Ищем такие размеры сторон чтобы периметр был в 24 раза больше одной из сторон.Подбираем такие размеры сторон треугольника, чтобы простое число, было катетом или гипотенузой:
23²+264²=529+69696=7�0225=265²
(23+264+265.0)/23=24
В) Ищем такие размеры сторон, чтобы высота к гипотенузе равнялась 120воспользуемся ответом или посчитаем по формуле h=2S/a, где a - гипотенуза.
Стороны 130; 312; 338: S=130∙312/2=20280; h=2∙20280.0/338=120Стороны 136; 255; 289: S=136∙255/2=17340; h=2∙17340.0/289=120Стороны 150; 200; 250: S=150∙200/2=15000; h=2∙15000.0/250=120                                                                              

А) 17^2=289=1*289
Здесь 2 варианта:
1)289+в^2=с^2,то есть.
(с-в)(с+в) =289.тогда
с-в=1
с+в=289,отсюда с=145,в=144.
17^2+144^2=145^2
2) а^2+в^2=17^2 или
а^2=(17-в)(17+в), пробуем разные значения в.
в=1,то есть 16*18=288,--нет такого а
в=2 и 15*19=285,тоже нет а.
в=3 и 14*20=280,тоже нет а.
в=4 и 13*21=273,нет.
в=5 и 12*22=264--нет
в=6 и 11*23=253-нет
в=7 и 10*24=240--нет
(в=8 и 9*25=225,,а^2=225.то есть а=15
8^2+15^2=17^2
64+225=289)
в=9 и 8*26=208--нет
в=10 и 7*27=189-нет
а=11 и 6*28=168-нет
в=13 и 5*29=145-нет
в=14 и 4*30=120-нет
в=15, и 3*31=93-нет
(в=16 и 2*32=64-тогда а=8, в=15)
В общем:
17^2+144^2=145^2.
8^2+15^2=17^2
Б)пусть один из катетов а простое число:
а^2=(с-в)(с+в)
То есть с-в=1 и с+в=а^2
И 1) а^2+а=24а--это первый вариант.
а^2=23а,то есть:
а=23, и 23^2=529
И с=265,в=264
Получили:
23^2+264^2=265^2
Р=23+264+265=552 и 552=23*24,то есть Р больше чем катет а, в 24 раза
2)пусть а^2+а=24с, то есть периметр больше гипотенузы в 24 раза
Далее:,а^2+а-24с=0
Д=1+96=97,корень не извлекается, нет решения
В) Н=120.
п^2+120^2=а^2
г^2+120^2=в^2,где п+г=с
а^2+в^2=с^2=п^2+г^2+�2гп
Далее:
а^2+в^2=а^2-120^2+в^2-120^2+2L(a^2-120^2)(в^2-120^2),где L-знак корня.
Далее:
120^4=(а^2-120^2)(в^2-120^2
Да и из подобия треугольников :
120^2=пг
В общем пока писал, ответ на вопрос В уже был в ответе vdtest. Решить мне трудновато,без применения каких нибудь программ, поэтому вариант В оставляю без ответа.