Точка Р лежит на боковой стороне MN трапеции KLMN. Известно, что ∠LMN=∠MLN=∠KLP=arcco�s(0,75) и
PL=18. Найдите длину отрезка KL.

опустим из точек N и P перпендикуляры NF и PO
для удобства доказательства, введем обозначения:
∠PLM = α
∠LMN = ∠MLN = ∠KLP = β  (β = arcco�s(0,75))
PL = R (R = 18)
далее получаем следующие очевидные выражения:
LO = R*cos(α)
PO = R*sin(α)
OM = PO*ctg(β) = R*sin(α)*ctg(β)
NF = (LO + OM)/2 * tg(β) = R/2*(cos(α) + sin(α)*ctg(β)) * tg(β) =
= R/2*(cos(α)*tg(β) + sin(α)) = R/2*(cos(α)*sin(β) + sin(α)*cos(β))/cos(β�) = R/2*sin(α+β)/cos(β)
с другой стороны, т.к ∠KLM = α+β то NF = KL*sin(α + β)
отсюда получаем:
R/2*sin(α+β)/cos(β) = KL*sin(α + β)
сокращаем sin(α+β), получаем:
KL = R/(2*cos(β)) = 18 / (2*0,75) = 12
ответ:
KL = 12