Медиана BM треугольника ABC является диаметром окружности, пересекающей сторону BC в её середине. Длина стороны AC равна 4. Найдите радиус описанной окружности треугольника ABC.

То, что к задачам по геометрии далеко не всегда прикладываются картинки - дело привычное. Не знаю, удалось ли мне выдержать все положенные пропорции, но иллюстрация вышла такой:
Напомню: BM у нас является диаметром окружности и по совместительству медианой, проведённой из вершины B. Таким образом известная нам сторона AC, имеющая длину 4, в точке M разделена пополам.
AM = MC = AC / 2 = 4 / 2 = 2Поскольку окружность пересекает сторону BC в середине, мы можем мысленно провести через точку N линию, которая будет параллельная стороне AC. На сколько я понимаю, это средняя линия. А у средних линий есть одно любопытное свойство - они делят все чевианы, проведённые из вершины к основанию. Это относится и к медианам. Таким образом средняя линия непременно пройдёт через центр окружности O, разделив диаметр BM на два радиуса BO и OM. Они же равны и длине ON.
Но давайте посмотрим на другой треугольник - ∆BMC. Его сторона BC, как известно делится пополам в точке N. Что, если в этом треугольнике тоже провести среднюю линию через точку N? Пусть это будет зелёная черта.
Но средняя линия в треугольнике ∆BMC разделит пополам не только сторону BC, но и другую - MC в точке L. Тогда:
ML = LC = MC / 2 = 2 / 2 = 1ON параллелен ML, OM параллелен NL - мы явно имеем дело с ромбом, стороны которого равны 1.
Но в вопросе автор интересуется радиусом совсем другой окружности - той, которая описана вокруг треугольника ∆ABC. А мы с вами наблюдаем следующую картину:
BM = MC = AM = 2, т.е. точка M располагается на одинаковом расстоянии от вершин ∆ABCОчевидно, что именно в этой точке и находится центр описанной окружности, а радиус равен двум.
Ответ: Радиус окружности, описанной вокруг ∆ABC = 2.