Как решить 5 копеек = 50 копеек?.

Это не первый случай на Гадайке, когда "ловят" на невнимательность. В третьем преобразовании - из одной четверти корень извлекают, а из "десять в квадрате копеек" корень извлечь "забывают" (флажком выделил):
Если придерживаться правил - получится преобразование как в нижнем ряду. И тогда - всё по местам.
                                                                              

В самом начале первая ошибка ,5 копеек не равно корень квадратный с 25 копеек. Квадратный корень с 25 копеек в квадрате должно быть чтоб равенство можно было ставить.

идет неэквивалентное преобразование копеек в квадрате в рубли в квадрате. Если убрать из них квадрат, то разница будет как раз в 10 раз, т.е. 1 рубль = 100 копейкам, при этом корень из 1 рубля равен 1 корней из рубля и корень из 100 коп равен 10 корней из коп

В этой забавной загадке ошибка спрятана при извлечении квадратного корня из 1/4 рубля. Ведь из размерностей мы тоже квадратный корень извлекаем. Мы не ошибаемся, когда у нас стоит квадратный сантиметр под корнем, например! Но вот рубль как-то не привычно, поэтому и произошла ошибка. Реально квадратный корень из рубля будет 10 копеек. А половина от 10 копеек - получатся наши искомые 5 копеек.

Подвох в задаче проще "раскусить" физику, чем математику - достаточно проверить размерности в расчетной формуле, как обычно и делают в физических моделях - самая первая вещь для защиты от возможных ошибок. Подвох спрятан в переходе при извлечении корня.