Как определить делится ли число на 11, не производя деления?

Для того, чтобы определить, делится ли одно число на другое, не произведя вычислений, пользуются признаками делимости.
В курсе теории чисел доказывается общий признак делимости Паскаля, который позволяет вывести признаки делимости на разные натуральные числа. Он изложен в утверждении, которое можно посмотреть, к примеру, в википедии.
Рассмотрим частный случай: признак делимости на 11.
После несложных преобразований имеем:
Прежде, чем переформулировать эти два равносильных утверждения как признак (необходимое и достаточное условие) делимости на 11**, вспомним понятие делимости.
Будем говорить, что одно целое число m делится на целое число n** или m  кратно n, если существует целое число g, что выполняется равенство: m = n*g. Например 24 кратно 3, так как существует 8, что выполняется равенство: 24=3*8.
А теперь сформулируем  признак делимости на 11:
Натуральное число m делится на натуральное число 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах.
Или
ПРИМЕР. Не вычисляя, с помощью признака делимости на 11 проверим, делится ли число 54561122 на 11. Найдем сумму цифр, стоящих на нечетных местах (последняя цифра, затем третья с конца, т.е. через цифру следующая, затем 5-я с конца и т.д.): 2+1+6+4=13. Найдем сумму цифр, стоящих на четных местах (вторая цифра с конца, 4-я, 6-я и т.д.): 2+1+5+5=13. Вычтем из первой суммы вторую: 13-13=0, 0 делится на 11. Значит, данное число делится на 11.
                                                                              

Нужно разбить число на пары цифр (двузначные числа), начиная от конца и их сложить. Если в начальном числе нечетное количество цифр, то двузначных чисел будет меньше половины - с округлением в меньшую сторону, и одно число (первая цифра) - однозначным.
Если результат сложения будет делиться на 11, то и само число - такжеВ случае, когда результат сложения велик, то операцию можно повторить - уже для результата. Ведь в итоге нужно понять, делится ли на 11 этот самый результат.
Например, число 9876548. Складываем пары двузначных чисел (от конца): 48+65+87+9 = 209. Сложение же цифровых пар результата дает: 09+2 = 11. Ответ число делится на 11.

Определить, делится ли любое число на 11, можно прибегнув только к суммированию (для больших чисел еще и к вычитанию).
Признак делимости на 11: сумма цифр, расположенных на четных местах в числе, равна сумме цифр, расположенных на нечетных местах, или же разность между этими суммами равна 11.
Например: 1243. 1+4=5; 2+3=5; 5=5, следовательно, число делится на 11.

Да!Признак деления на 11 немного сложнее чем на 2,3,4,6 и 5.И признак такой:Сумма цифр числа ,стоящих на чётных местах равна сумме цифр числа,стоящих на нечётных местах.Почему так получается:При умножении на 11 мы пишем любое число,затем пишем под этим числом это же число,но со сдвигом влево.То есть в результате получается число,с цифрами ,стоящими на чётных и на нечётных местах ка бы с одинаковым набором цифр.Пример:72536*11=  72536 ****************************************************************************�**************************************72536******************************�**************************************797896.При суммировании цифр на чётных местах и нечётных местах будут участвовать одно и те же цифры.7+7+9=7+2+5+3+6=23, 9+8+6=7+2+5+3+6=23.