Сосчитайте сумму всех натуральных чисел от 1 до 100.
Задание для младших классов.

Вообще, нужно сразу же дать ответ на вопрос, а что такое натуральное число? Это естественные (собственно это и есть перевод понятия натуральный), используемые при подсчете чего-нибудь числа. Если у нас есть ряд таких чисел (кстати, он называется натуральный), то в нем есть интересная закономерность - если взять самые крайние числа и сложить их, а потом взять следующие оказавшиеся крайними и опять провести операцию сложения и так далее, то получится одно и то же число, а именно 101 (1+100=2+99=3+98...)�.. Сколько всего пар чисел в нашем ряду? Ответ - 50 (100/2). Значит, всего-то и нужно, что умножить 101 на 50 и получить искомое число - 5050. Не верите? Подсчитайте сами, можно столбиком:)

Если для школьников именно младших классов, то тут можно так объяснить - у нас есть линейка, расположенных в ряд чисел, удобно складывать самые крайние слева/справа числа между собой. Получается закономерность, что их сумма всегда равна одному и тому же числу - 101, например, 1+100 и 2+99, ну, и так далее. Значит, тут, чтобы быстрее, не складывать нужно, а умножать. Что на что? У нас есть 50 пар дающих 101, вот и умножаем 50 на 101, получаем 5050.
Есть и формула для таких вот интересных подсчетов, если требуется от 1 до х сложить, записывается она так: х*(х+1)/2 . Проверим в нашем случае 100*(100+1)/2=5050

Первые ознакомительные занятия на эту тему проводятся ещё в начальной школе (чаще всего в 4 классе).
Ученики младших классов уже изучили тему "натуральные числа" (используемые для счёта предметов), и, в основном, легко усваивают эту информацию.
Им рассказывают о великом немецком математике Карле Гауссе и поверхностно знакомят с быстрым и лёгким способом решения таких заданий (придуманным Гауссом ещё в детстве).
Как правило, чтобы дети не запутались, объяснение начинают с самого простого:
Например, найдём сумму натуральных чисел от 1 до 10:
1) По методу Гаусса, сумму чисел 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10  группируем следующим образом:
первое слагаемое с последним,
второе с предпоследним, и так далее,
1 + 10 = 11,
2 + 9 = 11,
3 + 8 = 11,
4 + 7 = 11,
5 + 6 = 11,
Во всех сгруппированных парах сумма одинаковая и равна одиннадцати.
2) Далее находим количество получившихся сгруппированных пар чисел, для этого последнее слагаемое (у нас - число 10) делим на 2:
10 / 2 = 5 (пар натуральных чисел получилось после их группировки).
3) Последний этап - находим сумму всех десяти чисел (пять раз по 11):
11 * 5 = 55
Итак - сумма первых десяти чисел натурального ряда равна 55.
*В четвёртом классе дети уже знают, что сумма первых девяти чисел натурального ряда равна сорока пяти, поэтому они легко могут сами проверить правильность решения, прибавив к 45 ещё 10:
45 + 10 = 55.
После усвоения этой темы, детям предлагается проверить данный метод складывания натурального последовательного ряда чисел на примере суммы чисел от 1 до 100:
1) Группируем числа:
1 + 100 = 101,
2 + 99 = 101,
3 + 98 = 101,
.,
26 + 75 = 101,
.,
48 + 53 = 101,
49 + 52 = 101,
50 + 51 = 101,
2) Находим количество сгруппированных пар чисел:
100 / 2 = 50
3) Вычисляем сумму всех натуральных чисел из данного ряда (50 раз по 101):
101 * 50 = 5050
Хотелось бы ещё добавить, что при закреплении этой темы в средней школе, дополнительно "вводится" формула, которая применяется для вычисления суммы всех чисел от 1 до n, где n - произвольное натуральное число последовательного числового ряда.
Формула:
Пусть нужно найти сумму чисел натурального ряда чисел от 1 до n,
1 + 2 + 3 + ... + (n - 2) + (n - 1) + n
(n + 1) * n / 2, где n - произвольное натуральное число (последнее в данном ряду натуральных чисел).
Эту формулу можно встретить и в таком виде:
n * (n + 1) / 2
Проверим формулу.
Подставим числа из первого примера:
(10 + 1) * (10 / 2) = 11 * 5 = 55
Попробуем подставить числа из второго примера:
(100 + 1) * (100 / 2) = 101 * 50 = 5050
Данная формула используется для нахождения суммы любого количества чисел натурального ряда от 1 до n.

Удивляет, что такое задание дают детям младших классов, поскольку сложные формулы здесь не применить. Можно считать следующим путем:
Считаем сумму от 1 до 9. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45.Считаем сумму всех 1...9, что встречаются в числах. Не цифр, а именно чисел. То есть, единиц, а не десятки. Выходит, нам нужно умножить 45 на 10. Выходит, 45 х 10 = 450;Теперь считается сумму всех десяток. Раз мы сложили все единицы, то получим ряд не 10, 11, 12 и так далее. А 10, 10, 10. Но если выше мы унижали на 10, то теперь умножим 45 на 100. И получим 45 х 100 = 4500. Складываем цифры. 4500 за счет двухзначных цифр, 450 за счет однозначных и останется 100, как единственное трехзначное число. 4500 + 450 + 100 = 5050.

Можно заметить, что сумма пар крайних чисел  в этом ряде постоянна:
1 + 100 = 101
2 + 99 = 101
3 + 98 = 101 и так далее.
И таких пар чисел с суммой 101 будет 50 штук, следовательно, сумма чисел всего ряда будет:
101 * 50 = 5050 

Мне больше нравится оперировать красивыми числами кратными 10, поэтому думаю младшему школьнику по-моему проще объяснить решение таким образом:
Сложить крайние числа от 1 до 99. В таком случае сумма их равна 100:
1+99=100
2+98=100
.
49+51=100
Всего таких "соток" 49. Сумма будет равна 49*100=4900
Нужно прибавить лишь оставшиеся числа 50 и 100.
Получаем 4900+100+50=5050

Сумма натуральных чисел от одного до ста, считается следующим образом, а именно:
1 + 100 = 101
2 + 99 = 101
Если следовать данному принципу, то дальше пойдет: 
48+52=100
47+53=100
В сумме таких пар у вас получится 50:
Если же вы хотите узнать сумму чисел всего ряда, то делаем это так:  101 * 50 = 5050