Дан тетраэдр. Строится плоскость такая, что все вершины тетраэдра находятся на равных расстояниях от плоскости. Сколько таких плоскостей существует?

четыре - по числе строн тераэдера , так как они должны быть параллельны этим плоскостям и проходить между вершиной, (если поставить тетраэдр на одну из сторон, то вершиной будем считать верхнюю вершину) и основанием (противолежайщей по отношению к вершине плоскочти) и так для каждой из вершин
                                                                              

Если тетраэдр не вырожденный, то есть его вершины не лежат в одной плоскости, то существует 7 плоскостей, удовлетворяющих условию.
Во-первых, вершины не могут находится по одну сторону от такой плоскости, иначе они бы сами лежали в одной плоскости, параллельной той, от которой они находятся на одинаковом расстоянии (и таких плоскостей существовало бы бесконечное множество).
Во-вторых, существуют 4 плоскости такие, что 3 вершины находятся по одну сторону от плоскости (лежат в одном из двух полупространств, на которые плоскость делит пространство), а 1 оставшаяся вершина находится в другом полупространстве. Такие плоскости параллельны граням тетраэдра и проходят через середину высоты тетраэдра (перпендикуляра, опущенного из вершины на грань), перпендикулярно высоте.
В третьих, существует 3 плоскости такие, что по 2 вершины тетраэдра находятся в различных полупространствах относительно них, то есть эти плоскости проходят между двумя рёбрами, не принадлежащими одной грани (их можно назвать противоположными). Эти плоскости параллельны рёбрам, между которых они расположены, и проходят через середину общего перпендикуляра к скрещивающимся прямым, содержащим противоположные рёбра тетраэдра. Число 3 может быть получено как число способов разбиения множества из 4 элементов на 2 подмножества из 2 элементов, если порядок подмножеств не имеет значения, которое равно числу сочетаний по 2 элемента из 4, делённому на 2.
Итого, 4 + 3 = 7.
Какое-то наглядное представление об особенностях пересечения упомянутых двух совокупностей плоскостей с рёбрами тетраэдра можно получить из двух нижних рисунков к ответу на вопрос «Какие многоугольники могут получиться в сечении тетраэдра?», но с учётом того, что в нашем случае плоскости будут пересекать рёбра тетраэдра в их серединах (и будут параллельны остальным рёбрам), что можно использовать как ещё один способ построения таких плоскостей.
Встречая геометрическую задачу, я обычно задаюсь вопросом о возможности её обобщения на произвольное число измерений. В данном случае всё просто, вопрос будет: сколько в n-мерном пространстве существует гиперплоскостей (то есть (n-1)-мерных плоскостей или, иначе, линейных подмногообразий) таких, что все вершины (число которых равно n+1) некоторого невырожденного n-мерного симплекса в этом пространстве находятся на равных расстояниях от гиперплоскости. Ответ на него: 2^n-1. Он получается как число всех разбиений множества из n+1 элементов на два подмножества, если порядок подмножеств не имеет значения, исключая случай когда одно из подмножеств пустое (то есть все вершины находятся по одну сторону от гиперплоскости). Этому ответу удовлетворяют и найденный здесь ответ для случая n=3, и ответы для случаев меньших размерностей: 3 прямых, равноотстоящих от вершин треугольника на плоскости (n=2), и 1 точка, равноотстоящая от концов отрезка на прямой (n=1).