Рома и Дима записывают девятнадцатизначное число, используя только цифры 1, 2, и 4. Первую цифру пишет Рома, вторую - Дима, третью - снова Рома и так далее по очереди. Рома хочет получить в результате число, кратное 3. Может ли Дима помешать ему это сделать?

Разберем задачу.
Число разрядов нечётное. Поэтому Рома первый начинает и последний заканчивает.
Что бы число было кратное 3, то сумма цифр должна делится на 3.
Если после последнего хода Димы число будет делится на 3, то добавив 1 или 2 или 4 Рома не получит числа делящегося на 3.
А теперь рассмотрим первый ход Ромы. Какую бы цифру Рома не поставил бы, Дима следующим ходом может сделать так, что число разделится на 3
Рома ставит 1 - Дима 2 (1+2 = 3) делится на 3
Рома ставит 2 - Дима 4 (2+4 = 6) делится на 3
Рома ставит 4 - Дима 2 (4+2 = 6) делится на 3
Каждый следующий ход аналогично Дима делает число делящимся на 3 и к последнему ходу Рома не сможет получить число кратное 3
Ответ: да, сможет.