Все члены геометрической прогрессии – различные натуральные числа, заключенные между числами 510 и 740.
а) может ли такая прогрессия состоять из четырех членов?
б) может ли такая прогрессия состоять из пяти членов?

Из четырёх - запросто: 512, 576, 648, 729 (знаменатель прогрессии - 1,125, или 9/8).
Фишка тут в том, что 512 - это 2 в степени 9. Значит, умножая это на нечто "целое делить на 2 в степени чего-нибудь", можно несколько раз получить целые числа, пока не закончатся эти девять двоек.
Теперь попробуем такой же трюк с тем же первым членом, но знаменателем прогрессии, равным  17/16:
512, 544, 578, 614.125
Оп-па. Уже не четвёртом члене всё сломалось. И вполне очевидно, что возможности варианта "2 в степени 9" на этом исчерпаны. Знаменатель 5/4 слишком быстро выведет за пределы 740, а варианты 17/16, 33/32 и т. д. быстро выходят на дробные числа.
Но можно не ограничиваться двойкой в степени, а попробовать другие варианты. Ну например 3⁵ = 729. Очевидно, что если взять знаменатель 8/9, то мы получим тот же вариант из четырёх членов, что и для 512 и 9/8. Вариант знаменателя 2/3 тоже не годится, потому что на первом же шаге получается 486 - за пределами требуемого диапазона.
Итого: четыре - можно, пять - нет.