Числитель и знаменатель дроби — положительные числа. Числитель увеличили на 1, а знаменатель — на 100. Может ли полученная дробь
оказаться больше исходной?

Да, конечно, может. Всё зависит от знака разности b – 100a.
Попробуем решить нашу задачу методом составления неравенства.
Обозначим нашу исходную дробь в виде a/b. Буквой a обозначен числитель, а буквой b — знаменатель. После увеличения числителя на единицу, а знаменателя — на сто мы получим дробь (a + 1)/(b + 100).
Вычтем из конечной дроби начальную. Нам нужно, чтобы значение этой разности оказалось больше нуля.
Имеем:
(a + 1)/(b + 100) – a/b > 0;
[b(a + 1) – (b + 100)a]/[b(b + 100)] > 0;
[ab + b – (ab + 100a)]/[b(b + 100)] > 0;
(ab + b – ab – 100a)/[b(b + 100)] > 0;
(b – 100a)/[b(b + 100)] > 0.
Однако по условию задачи b — положительное число, оно строго больше нуля. Значит, и число b + 100 тоже положительное. Поскольку множители b и b + 100, находящиеся в знаменателе, не являются корнями (нулями) неравенства, мы можем без опасения потери корней и без изменения знака нашего неравенства домножить левую и правую части неравенства на заведомо положительное число b(b + 100).
Получили простое неравенство: b – 100a > 0. Или, что то же самое, b > 100a.
Мы можем взять произвольное значение для a, а затем найти b, большее, чем 100a, и убедиться, что в этом случае полученная дробь будет больше исходной. Например, a = 1, b = 200. Имеем: a/b = 1/200; (a + 1)/(b + 100) = (1 + 1)/(200 + 100) = 2/300 = 1/150. Очевидно, что 1/150 > 1/200.
В случае, когда b < 100a, полученная дробь, конечно, будет меньше исходной (левая часть нашего неравенства будет иметь отрицательный знак). Например, a = 1, b = 20. Имеем: a/b = 1/20; (a + 1)/(b + 100) = (1 + 1)/(20 + 100) = 2/120 = 1/60; 1/60 < 1/20.
Наконец, если b = 100a, то значение дроби не изменится, конечная дробь будет равна начальной. Пример: a = 1, b = 100. Имеем: a/b = 1/100; (a + 1)/(b + 100) = (1 + 1)/(100 + 100) = 2/200 = 1/100; 1/100 = 1/100.
Ответ: да, конечная дробь может быть больше исходной, но только в том случае, когда b > 100a (a — числитель исходной дроби, b — знаменатель).
                                                                              

Обозначим исходную дробь А/В, тогда измененная дробь (А+1)/(В+100). Новая дробь будет больше исходной если (А+1)/(В+100)-А/В > А/В. Прибавим к обоим частям неравенства по А/В получим (А+1)/(В+100) > 2*А/2*В или А+1>2А и В+100 < 2*В. Вычитаем из обеих частей неравенства А+1>2А по А получаем 1>А , то-есть А тоже дробь, что не противоречить условию. Вычитаем из обеих частей неравенства В+100 < 2*В по В, получаем 100<В, что тоже возможно. Окончательный ответ полученная дробь может оказаться больше исходной при условиях что А дробь, а В>100. Например, А=1/2, В=102 тогда исходная дробь 1/202=0,00495... , новая дробь (203/202)/202= , новая дробь 0,004975... . Новая дробь 0,004975... действительно больше исходной 0,00495... .

Полученная дробь может оказаться больше исходной, если исходная дробь равна 0/Х, где Х - любое число, большее -99.(9) и не равное нулю.