Можно ли найти площадь данного сегмента, используя только высоту h и длину хорды АВ? В интернете находятся только стандартные формулы через угол образующего сектора и диаметр окружности. Но ведь через три точки можно провести окружность и только одну. Значит через концы отрезков пройдёт только такая дуга, и ни какая больше. Соответственно в математике должна быть высчитана чёткая зависимость размеров данной дуги от длинны данных отрезков, и наоборот. Соответственно и площадь жёстко привязана к длинне этих отрезков. Логично, что и площадь можно выразить через некую зависимость, как например площадь круга через диаметр (радиус) и число ПИ.
Заинтересовался этим, потому что появилась необходимость быстро (на ходу) прикидывать площадь металлоконструкций сложной формы, где присутствуют дуги  и центр окружности не очевиден, да и находится может за пределами реальности (десяток метров и более) отсюда и радиус и угол померить трудоёмко и не реально.
Или математики упустили этот момент и я сейчас натолкнул кого то на математическое открытие?   

На фото предоставлены формулы вычисления параметров сегмента. При заданных значениях  высоты (h) и длины хорды (с), вполне можно определить площадь сегмента. Исходя из формулы в красной рамке, находим радиус, а зеленой – угол. Далее, используем одну из формул вычисления площади.
Вот  без этих синусов и арксинусов можно методом последовательных вычислений до требуемой точности. Соединяем отрезками крайние точки хорды с серединой дуги. Площадь полученного треугольника  равна
S =hc/2.
Остается два неучтенных малых сегмента отсекаемых отрезками. Далее, поступая аналогичным образом, находим площади треугольников у этих сегментов и т. д. до требуемой точности.
                                                                              модератор  выбрал этот ответ лучшим

Продолжу рассуждения Vasil Stryz�hak.
Можно рассчитать площадь сегмента по всем правилам.
Очень проблематично, находясь на строительной площадке.
Попробуем рассчитать приблизительно.
Впишем с сегмент треугольник.
Далее оставшиеся сегменты то же заполним треугольниками.
И еще раз заполним оставшиеся четыре сегмента.
Можно рассчитать на калькуляторе, но очень хлопотно.
А теперь в самый раз оценить полученные результаты.
Нарисуем очень пологую ферму (маленькая высота сегмента по отношению к длине фермы).
В таблицах даны значения площади при расчете и при трех степенях приближения. А также какой процент данное значение имеет по отношению к расчетному.
Обратим особое внимание на значение процента при первом приближении (74.85%)
А теперь нарисуем ферму с крутым прогибом.
Процент изменился до 71%
Зная, что площадь треугольника составляет 71-74%%, в зависимости от кривизны прогиба, несложно определить площадь сегмента. Степень кривизны можно определять на глаз, но можно ведь составить и таблицу В которой будет прописан процент в зависимости от соотношения c/h.
Или рассчитать сразу через коэффициент.
ССЫЛКА НА РАСЧЕТ.
Данный калькулятор Desmos позволяет программировать и сохранять любые алгоритмы расчета. Имеется мобильная версия для телефонов.

Можно и никакого открытия в этом нет. Берем стандартную формулу для вычисления сегмента круга. Вы ее уже знаете. В ней два параметра - угол и радиус.
Теперь нужно выразить их через два известных параметра - высоту h и длину хорды AB.
Сделайте дополнительные построения:
отметьте центр окружности, пусть это будет точка O. проведите радиус AOпроведите второй радиус - через вашу высоту. Пусть точка на пересечении радиуса проведенного через высоту и хорды будет обозначена CИз треугольника ACO легко находится радиус выраженный через высоту и длину хорды
Из того же  треугольника находится угол.
Подставляем - и вуаля. Формула будет громоздкая и некрасивая, с арксинусом.
Можно попробовать с ней еще дальше поиграться, но не факт что получится упростить, хотя я и не отрицаю такую возможность

Когда-то, ещё в годы учёбы в школе встречал формулу для приблизительной оценки площади сегмента S=(2/3)*a*b*, где a - длина хорды (на Вашем чертеже АВ), b - длина "стрелки" (кажется твк называлось расстояние от хорды до наиболее удалённой точки дуги, стягиваемой хордой.
Сейчас мне некогда, но попозже, если никто не ответит, попробую сочинить удобоваримую формулу.