Сколькими способами число 17 можно представить в виде суммы 13 целых положительных слагаемых? Представления, отличающиеся порядком слагаемых, считаются различными.

Для начала поймем, что большей частью слагаемых будут единицы. Так как набирая 8 слагаемых из чисел ≥ 2 получим сумму уже более 17
Поэтому начнем разбирать с максимального количества единиц и постепенно уменьшать их количество.
1 вариант:
Двенадцать единиц. И "5". Пятерку можно поставить в 13 мест. Получим 13 способов
2 вариант:
Одиннадцать единиц. останется набрать 6 двумя слагаемыми.
Тогда возможно: "2 и 4". 13 мест поставить "2" и для неё 12 мест поставить "4". Получим 13•12 = 156 способов.
"3 и 3". Аналогично 13 мест поставить "3" и 12 мест поставить вторую "3" Но поскольку эти числа повторяются, то будут посчитаны способы дважды, поэтому разделим пополам. 156/2 = 78 способов
3 вариант:
Десять единиц. останется набрать 7 тремя слагаемыми.
Тогда возможно: "2; 2; 3". Сделаем так: 13 мест поставить "3" и останется для них 12•11/2 способов поставить две "2". Получим 13•12•11/2 = 858 способов
4 вариант:
Девять единиц. останется набрать 8 четырьмя слагаемыми.
Тогда возможно: "2; 2; 2; 2". Тут можно рассуждать по формуле числа сочетаний С⁴₁₃ = 13!/(4!•(13-4)!) = 13•12•11•10/(2•3•4) = 13•11•5 = 715 способов
5 вариант:
Восемь единиц. останется набрать 9 пятью слагаемыми.
Такой вариант уже невозможен. Если использовать хотя бы только 2, то уже получим 10
Теперь подсчитаем итого:
13 + 156 + 78 + 858 + 715 = 1820
Ответ: 1820