В футбольном турнире 14 команд сыграли между собой 6 туров — каждая команда сыграла с шестью разными командами. Обязательно ли найдутся три команды, не сыгравшие между собой пока ни одного матча?

Может и можно подобрать варианты, когда найдутся, но есть  один, при котором такое исключено. То есть ответ: необязательно.
Команда с номером 1 сыграла с командами под номерами от 3 до 8. Команда с номером 2 сыграла с командами под номерами от 9 до 14. Третья команда при таком раскладе уже обязательно сыграла либо с первой, либо со второй.
В сущности "каждая команда сыграла с шестью разными командами", означает, что задействованы в этом переборе не шесть, а (1+6) семь команд. Два раза по семь будет как раз общее количество участников. А для следующего кролика уже будет нужна дополнительная клетка (принцип Дирихле).