Хотелось бы решение с объяснением, чтобы понятно было подобные уравнения решать.

Чтобы привести дроби к общему знаменателю домножим числитель и знаменатель первой дроби на (х+1),второй  на (х-1),а правую часть на (х+1)*(х-1)/(х+1)*(х-1)
получим выражение 
12*(х+1)/(х+1)*(х-1)-8*(х-1)/(х+1)*(х+1)=1*(х+1)*(х-1)/(х+1)*(х-1)
обе части домножим на общий знаменатель  (х+1)*(х-1)
12*(x+1) - 8*(x-1) = 1*(х+1)*(х-1)
заметим что (х+1)*(х-1)=x²-1(формула сокращенного умножения)
12*x+12-8*x+8=x²-1
упрощаем выражение
4*x+20=x²-1
получили квадратное уравнение
x²-4*x-21=0
решаем уравнение
x=2±√(4+21)
x=2±√25
x1=2+5=7
x2=2-5=-3