Можно ли его извлечь с помощью обычного калькулятора? Например, 8- или 10-разрядного?

Если очень хочется, то нетрудно извлечь квадратный корень столбиком. С помощью карандаша и клочка бумаги.
                                                                              

Ну это известный "эффект" возведения в квадрат любого числа, состоящего из единиц. 11² = 121, 111² = 12321, 1111² = 1234321 и так далее. "Средняя" (по позиции) цифра квадрата есть число единиц в возводимом в квадрат числе. Поэтому ответ тут - число, состоящее из 9 единиц (1111111111).
Эффект мгновенно становится очевидным, если просто взять и умножить в столбик. Ведь число строк при таком умножении аккурат равно числу разрядов в исходном числе, все эти строки состоят из единиц, и расположены "лесенкой". Это и даёт эффект постепенного нарастания и затем постепенного убывания разрядов произведения.

Квадратный корень числа 12345678987654321Воспользуемся Microsoft Excell или, например, онлайн сервисом octave-online.net (аналог MATLAB). Я приведу решение на примере последнего, просто потому, что мне хочется, чтобы о нем узнали большее количество пользователей.
Для вычисления введем в командной строке выражение
x = sqrt(123456789876543�21)
В результате получим значение x = 111111111
Полагаю, что вычислить значение с помощью 8 и 10 разрядных калькуляторов не получится.