Была такая интересная задачка по математике в учебнике Людмилы Петерсон; если не ошибаюсь, это пятый класс.
Мимо моего дома проходят три автобусных маршрута с разными номерами. Известно, что:
1) все эти номера — трёхзначные числа;
2) все они точные квадраты;
3) все они записываются одними и теми же цифрами.
Какие же это маршруты?
Думаю, как решить эту задачку порациональнее. Можно, конечно, тупо перебрать все трёхзначные числа. Всё же их целых девятьсот. Работы немало. Что, если, допустим, мне лень их все проверять? Т. е., другими словами, нельзя ли как-нибудь решить это по возможности побыстрее, не перебирая все числа подряд? Если можно, то подскажите, пожалуйста, как именно.

Конечно перебирать все 3-х значные числа не стоит. Можно сузить круг поиска.  В некоторых  программах 5-го класса проходят таблицу квадратов, хотя в основных программах она в 7-м классе. Вернее не совсем таблицу, а квадраты некоторых чисел и интересные факты.
Поэтому вспомнив таблицу квадратов или посчитав её или подсмотрев где либо увидим, что трехзначных чисел таких: 22 и перебирать надо среди 22, а не 900.
(Ответ extatic хорош, но он не совсем системный. По сути он опустил, что выбор производит среди этих 22 чисел. Иначе как он выкинул окончание 5? Ну заканчивается на 25 и что? Например 625 - квадрат 25; 256 - квадрат 16, может еще есть какое число переставив цифры которого получим квадрат. Например 526? Это можно проверить только зная трехзначные числа квадратов или проверяя каждое, а не квадрат ли это? Зная числа квадратов из таблицы легко уже можно проверить. С остальными по сути так же)
То есть по сути перебор осуществляется среди 22 трехзначных чисел.
__ |. 0 . |. 1 . |. 2 . |. 3 . |. 4 . |. 5 . |. 6 . |. 7 . |. 8 . |. 9 . |
10 | 100| 121| 144| 169| 196| 225| 256| 289| 324| 361|
20 | 400| 441| 484| 529| 576| 625| 676| 729| 784| 841|
30 | 900| 961|
Конечно можно сократить этот перебор выкинув первый столбец с нулями. Останется 19 чисел.
Потом можно выкинуть, то что попадается редко. Например с цифрой 3 (324 и 361). останется 17
Потом с цифрой 7: (576; 676; 729; 784). Среди них нет троек. Останется 13 чисел.
Потом с цифрой 8: (289; 484; 784-уже вычеркнули; 841). Тоже нет троек. Останется 10 чисел
Потом проверяем 2: (121; 225; 256; 289-уже вычеркнули; 324 - вычеркнули; 529; 625; 729 - вычеркнули) - среди них так же нет троек. Останется 5 чисел.
Причем получится, что все 5-ки уже вычеркнуты.
Проверяем 4 среди не вычеркнутых: (144; 441). Останется 3 числа:
169; 196 и 961 - и это искомые числа: 169 = 13²; 196 = 14²; 961 = 31²
Причем видно, что других решений нет. Оно единственное (что, например, extatic не гарантировал. Просто нашел 1 ответ)
Данная задача не имеет какого либо закономерного решения. Она носит лишь познавательный характер и позволяет ученикам проще запомнить квадраты некоторых чисел, что позволит легче ориентироваться и решать задачи в дальнейшем.
Это задачи из серии интересного: 12² = 144 и 21² = 441; или 13² = 169 и 31² = 961; Но это только для этих пар чисел перестановка цифр дает перестановку цифр в результате и не несет никакой закономерности.
Поэтому как ни крути, а задачу решать перебором, но разумным. Не всех чисел, а только квадратов. 
                                                                              

Ну квадраты чисел заканчиывются не на все цифры, а на 1, 4, 6, 9, 0, 5.  0  Отбрасываем, потому что их всегда два. 5 отбрасываем, потому что должно быть 25 в конце, тут тоже вариантов нет. Под подозрением 4 цифры остается  1, 4, 6, 9.  Смотрим, что еще можно вычеркнуть. Поскольку у нас квадрат, то он не может делиться на 2, и при этом не делиться на 4. Поэтому если число заканчивается на 4, то вторая цифра будет четная (иначе не делится на 4). Т.е. если в конце 4, то это либо 164, лбо 964 - других вариантов нет. Оба числа не подходят, значит 4 отбрасываем. Остаются цифры 1, 6, 9. Далее перебираем варианты из этих цифр и находим  числа 169, 196 и 961.
Если бы эти варианты не подошли, пришлось бы рассматривать варианты, когда какая-то другая цифра бывает на первой и второй позиции, но не бывает на третей, но раз и так все хорошо, то не будем этого делать.

В этой задаче главный пункт - то, что эти числа - квадраты.
Выпишем все трёхзначные квадраты, ОлегТ это уже сделал:
100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961.
Всё. Всего получилось 22 числа, которые нетрудно перебрать.
Изучаем список и находим, что такая тройка только одна:
169, 196, 961
Ещё есть две пары: (144; 441) и (256; 625).
Остальные квадраты все по одному.