На окружности отмечено 1000 точек, каждая из которых окрашена в один из k цветов. Оказалось, что среди любых пяти попарно пересекающихся отрезков, концами которых являются 10 различных отмеченных точек, найдутся хотя бы три отрезка, у каждого из которых концы имеют разные цвета? При каком наименьшем значении k это возможно?

Задача конечно не из ОГЭ, а олимпиадного уровня. Но опустим это. Для решения надо понять условие, что же хотят в задаче и как воспользоваться данными.
Сначала разберем условие
Давайте возьмем 10 любых точек (они могут идти подряд, а может между ними есть ещё точки, но рассмотрим именно конкретный десяток)
И попробуем начертить 5 отрезков, так чтобы любые два пересекались между собой.
Смотрим рисунок
И тут стоит понять, что это расположение отрезков единственное для этих десяти точек.
Давайте разберем.
Возьмем любой отрезок на окружности. Он разделит окружность на две дуги. И что бы другой отрезок с ним пересекался, то один конец должен быть на одной дуге, а другой конец на другой дуге.
Соответсвенно это должно произойти с 4 отрезками.
То есть при построении отрезка можно соединить только те 2 точки между которыми будет 4 точки с оной и с другой стороны.
То есть любую точку из 10 соединяем только с точкой идущей через 4. А это будет единственная точка для каждой.
Так как для любых 10 точек единственное построение отрезков, то в этих 10 точках 6 точек  имеют разные цвета. Поскольку ищем минимум. То пусть 3 конца у 3-х отрезков будут одного цвета, а 3 других другого цвета. Оставшиеся 4 точки нам не важны. Тогда пусть они совпадают с цветом 1
То есть в 10 точках 7 одного цвета и 3 другого подходящий вариант.
Тогда рассмотрим 1000 : 7 ≈ 142,86
Покажем что меньше 143 цветов нельзя.
Пусть будет меньше. Например 142 цвета или меньше
142•7 ≤ 994 точки будет закрашено этими цветами.
И останется ещё ≥ 6 точек. Закрасив одну из этих точек из уже существующих цветов получим 8 одного цвета. Выберем эти 8 одного цвета и любые 2 к ним и не получится 3 прямых с концами разного цвета.
Получаем, что минимум 143
Ну для примера берем по 7 точек подряд и красим в один цвет и так далее. Последним 143 цветом будет закрашено 6 точек.
Заметим, что таким расположением точки подряд одного цвета, исключается возможность отрезков с одинаковыми концами для двух разных цветов.
Чтоб было понятно. Не всегда 3 точки одного цвета и 7 другого дадут выполнение условия, что 3 отрезка с концами разных цветов. Но это возможно, когда эти 2 цвета чередуются определенным образом. Смотрим контрпример на рисунке
Но расположение цветов подряд исключает возможность таких вариантов.   
Выбирая любые 10 точек среди них будет максимум 7 точек одного цвета и минимум 3 другого цвета и точки одного цвета будут всегда идти подряд.
Ответ: при k = 143