На боковой стороне BC равнобедренного треугольника ABC отметили точку D так, что AC = AD, а на продолжении боковой стороны AB — точку E так, что ∠BAD = ∠ACE. Докажите, что BC = CE.

Нарисуем рисунок согласно условию. Обозначим ∠BAD = ∠ACE = α; углы ∆ABC при основании ∠BAC = ∠BCA = β
Рассмотрим вариант 1. Расположения точки E: Точка  B между A и E
Но тогда ∠BAD = α меньше ∠BAC = β (Так как точка D - внутрення точка треугольника ABC)
а с другой стороны  ∠ACE = α больше ∠BCA = β (Так как точка B - внутрення точка треугольника ACE). Получили противоречие: α < β и α > β. Значит такой вариант невозможен
Рассмотрим вариант 2. Расположения точки E: Точка  A между B и E
1) Тогда рассмотрим ∆ACD - равнобедренный, так как AC = AD => ∠ACD = ∠ADC = β
2) ∠ADB - смежный с ∠ADC, тогда ∠ADB = 180° - β - обозначим γ
3) ∠CAE - смежный с ∠BAC, тогда ∠CAE = 180° - β - тоже будет γ
4) Рассмотрим ∆ADB и ∆CAE -  они равны по двум углам и стороне между ними.
Таким образом соответственные стороны в равных треугольниках равны. CE = AB
5) Так как ∆ABC - равнобедренный, то AB = BC и получаем CE = BC ч.т.д.