Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,8. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Введем обозначения: п - перегорела, н - не перегорела. Теперь можно найти вероятности всех исходов.
P(п, п, п) = 0.8 * 0.8 * 0.8 = 0.512
P(п, п, н) = 0.8 * 0.8 * 0.2 = 0.128
P(п, н, п) = 0.8 * 0.2 * 0.8 = 0.128
P(п, н, н) = 0.8 * 0.2 * 0.2 = 0.032
P(н, п, п) = 0.2 * 0.8 * 0.8 = 0.128
P(н, п, н) = 0.2 * 0.8 * 0.2 = 0.032
P(н, н, п) = 0.2 * 0.2 * 0.8 = 0.032
P(н, н, н) = 0.2 * 0.2 * 0.2 = 0.008
Чтобы проверить, правильно вычислено или нет, нужно, чтобы разность 1 и суммы всех вероятностей давала 0.
Сложим только те вероятности, где хотя бы 1 лампочка не перегорит: это сумма всех вероятностей, кроме P(п, п, п).
Ответ: 1 - P(п, п, п) = 0.488
                                                                              

Я не очень сильно разбираюсь в вероятностных событиях. Потому буду решать задачу так, как понимаю суть дела, а не канонически, по формулам.
Для начала я хочу понять, как именно была получена эта самая пресловутая вероятность 0.8, как вероятность перегорания лампочки в течении года?
Ну, думаю, что так. Взяли для массовости (а вероятность только массовостью и подтверждается), допустим, 10000 лампочек и целый год только и делали, что включали каждую лампочку в каком-то определённом режиме, допустим, на один час утром, и по три-четыре отрезка длительностью по 20-40 минут вечером. Впрочем, это не важно, не суть, как именно их тестировали. Главное, что к концу года такого теста 8000 лампочек перегорело, а 2000 ещё хоть как-то держались. Отсюда и сделали вывод об этих самых 0.8 вероятности.
А у нас лампочек в задаче всего-то три штуки. Для начала предположим, что это не какие-то там особые лампочки - типа тех, что 'выжили' в эксперименте, и не из тех бракованных, которые могли перегореть уже через месяц после начала эксперимента, а какие-то среднестатистические�.   
Поскольку три исходные лампочки относятся к 10000 как 0.0003, то 'выжившие' из этих трёх штук к 2000 они тоже будут относится как 0.0003 (они ведь среднестатистические�), откуда получаем количество наших не перегоревших лампочек, как всего-то 0.6 штук.
Получается так, что ни одна лампочка из трёх наших не выдержит года работы. Вот будь их чуть поболее, пять штук лампочек, тут - да, точно одна лампочка попадала в раздел 'выживших'.
Какая же вероятность для трёх лапочек, если резюмировать?
Единственное, что можно сказать в этом случае, что из среднестатистических трёх лампочек, ни одна такая лампочка года не выдержит, иначе начальные 0.8 вероятности получаются неверными. И всё. Более сказать тут ничего нельзя.
Если же расчёты (какие тут уже сделаны другими отвечающими) показывают какую-то конкретную искомую вероятность в 0.488, то эта вероятность скорее будет показывать насколько взятые ими для решения 'идеальные' три лампочки отличаются от тех 10000, участвующих в эксперименте, и не более того :^)
PS
Если уж вести подсчёт исходов, типа перегорела - не перегорела, то исход "перегорела" нужно раскладывать по периодам - перегорела через месяц, перегорела через два месяца и так далее, ибо в том эксперименте 8000 лампочек перегорели не одномоментно, а перегорали как-то в течении всего года.

Перед нами задача на знание теории вероятности.
Из условия задачи мы знаем, что вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,8.
Вероятность того, что лампочка не перегорит равна: 1 - 0,8 = 0,2.
Нас интересует вероятность, когда хотя бы одна из лампочек не перегорит. Т.е., нас интересуют все варианты события, кроме 1 - все лампочки перегорели.
Вероятность, что все лампочки сгорели равна: 0,8 * 0,8 * 0,8 =  0.512.
Вероятность, что хотя бы одна лампочка осталась в рабочем состоянии равна: 1 -  0.512 = 0,488.

Все задачки типа "хотя бы одна не..." решаются одинаково - надо найти вероятность противоположного события. В данном случае - перегорели все три. Каковая вероятность равна, очевидно, произведению вероятности перегореть для каждой отдельной лампочки, по фигу одинаковые они или разные. В нашем случае (пропёрло...) одинаковые, значит, вероятность "перегорели все три" равна 0,8*0,8*0,8 = 0,512, стало быть, вероятность "не перегорит хотя б одна" равна 1-0,512 = 0,488.

Вероятность независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.
Поэтому Вероятность, что все три лампочки перегорят равна произведению P = 0,8•0,8•0,8 = 0,512;
Соответсвенно все остальные случаи будут, что хотя бы одна не перегорела. А поскольку вероятность всех возможных событий равна "1", то вероятность остальных случаев (когда хотя бы одна не перегорела) = 1-P = 1-0,512 = 0,488
Ответ: 0,488
И остальные отвечающие дали такой ответ и похожее решение.
Я же решил добавить разъяснение для таких как Nasos
Если уж делать интуитивные решения, то делать их надо до конца правильно.
Итак вероятность 0,8 что лампочка перегорит в течении года. Как заметил Nasos, на интуитивном уровне: вероятность определяется неким большим количеством испытаний.
То есть взяли 1 тыс лампочек жгли их целый год и 800 перегорело, а 200 нет.
Но теперь что хотят в задаче? А хотят узнать вероятность про 3 лампочки.
То есть это не берутся какие то 3 лампочки.
А снова множество испытаний.
Берут много лампочек по 3 штуки (пусть будет 1 тыс. таких троек, то есть 3 тыс, лампочек) и жгут их целый год.
А в конце года считают сколько таких троек лампочек, где хотя бы одна не перегорела. И окажется, что 512 троек будет где все перегорели и 488 где перегорели не все.
Так, как лампочек всего 3 тыс, то 2400 будет перегоревших, а 600 еще нет.
И надо представить как это все распределится по группам в 3 лампочки.
Возьмите 3000 шаров. Шестьсот из них отметим крестиком и будем распределять по возможным местам.
И окажется, что 8 групп будет, где все 3 лампочки целые = 24 целые лампочки
96 групп, где 2 лампочки целые, а одна сгоревшая = 192 целые и 96 сгоревших
384 групп, где одна лампочка целая и 2 сгоревшие = 384 целые и 768 сгоревших
и 512 групп, где все 3 сгорели = 1536 сгоревших.
Суммируем: 24+192+384 = 600 целых; и 96+768+1536 = 2400 сгоревших
Но все это сложно для представления, гораздо проще знать правила тер. вера  и по ним считать