Основание равнобедренного треугольника равно 8 см. Медиана, проведённая к боковой стороне, разбивает треугольник на два треугольника так, что периметр одного треугольника на 2 см больше периметра другого. Найдите боковую сторону данноготреугольника.

Хотел прокомментировать ответ Иры ЛДВО: (решает хорошо, но допускает погрешности из-за своего "я так хочу, я так вижу" и поэтому дает математически не правильные ответы)
А потом подумал. Ответ так Ира не поправит, да и оспаривать будет. Дам я свой ответ, хоть его решение и очень будет похоже на решение Иры. Ну а как по другому? Но чтоб в плагиате не уличили, я даже свой рисунок нарисую (буквы менять не буду, чтоб разночтений в пояснениях не было)
 Есть ∆ABC, основание AC = 8 см И боковые стороны AB=BC=2x (возьмем за 2х, потому что точка M разделит BC пополам и BM = MC = x, так проще).
Итак есть два треугольника:
∆ABM: Его периметр P₁ = AB+BM+AM = 2x+x+AM = 3x+AM
∆ACM: Его периметр P₂ = MC+AC+AM = x+8+AM
В условии дано, что один периметр больше другого больше на 2 см. Но какого не сказано. Тогда рассмотрим 2 случая:
1) P₁ больше P₂ на 2 см, то есть P₁=P₂+2
3x+AM = x+8+AM+2
2x = 10
Получаем, что боковая сторона AB=BC=2x = 10 см
2) P₁ меньше P₂ на 2 см, то есть P₁=P₂-2
3x+AM = x+8+AM-2
2x = 6
Получаем, что боковая сторона AB=BC=2x = 6 см
Оба решения удовлетворяют неравенству треугольника. То есть оба решения существуют.
Таким образом имеем два ответа
Ответ: Боковая сторона равна или 10 см или 6 см
П.С. К решению задачи не относится, но относится к ошибочному заявлению Иры. В обоих случаях угол B будет острым. Для того что бы угол B был тупым, боковая сторона должна быть 4 < AB < AC√2/2, то есть 4 < AB < 4√2 ≈ 5,66
                                                                              

Как видно из моего рисунка медиана АМ делит сторону ВС пополам. Половинки  обозначила как "х" А второе ребро АВ равнобедренного треугольника АВС равно 2х.
Периметр треугольника АВМ равен:
Равм = АМ + х + 2х = АМ + 3х.
А Периметр треугольника АМС равен:
Рамс = АМ + х + 8.
Я предположу что Основание треугольника 8 см меньше стороны АВ на 2 см. Хотя могло быть и наоборот, если бы угол В был не острый, а тупой.
Разница в этих периметрах только 2х и 8 см. Вычисляю:
2х - 2 = 8 см.
2х = 10 см.
х = 5 см.
Сторона АВ =  стороне ВС = 10 см.
Проверка. Разница периметров 2 см.
Рабм - Рамс = 2 см. Подставлю числа и неизвестные:
АМ + 5*3 - АМ - 5 - 8 = 2 см.
15 - 13 = 2 см.
2 = 2 см.
Сходится. Проверка пошла успешно!
Мой ответ: 10 см. боковая сторона данного треугольника. А если бы угол В был иной, то боковая сторона данного треугольника была бы равна 6 см. Но я рассматриваю только свой рисунок. Раз в задаче никакого нет.

У нас дан общий треугольник АВС. В нем есть медиана, пусть это будет АМ.
Треугольник по условию равнобедренный.
Так как АМ - медиана, то ВМ = ВС .
АМ - общая.
Периметры Р1 и Р2 отличаются на 2 см.
Периметр - сумма длин сторон.
Получается, что две стороны у треугольника одинаковые, отличается только одна.
Значит, именно эта сторона и дает разницу в два сантиметра, то есть,
8+2=10 - сантиметров. Ответ:10.