Как взаимосвязаны шар и сфера?

Шар - это геометрическое тело, а сфера это поверхность (оболочка) данного тела (шара). У шара измеряется объём, а у сферы площадь.
Если взять воздушный шар, то он имеет объём воздуха, который находится внутри, его можно измерить единицами объёма, например куб.м. (есть формула для нахождения объёма шара).
Оболочка воздушного шара ( плёнка из латекса), это -  сфера, она ограничивает тело шара, у неё можно измерить площадь, например, в кв. метрах. (есть формула для нахождения площади сферы).
Сфера и шар имеют центр, радиус и диаметр. Шар можно получить вращением круга вокруг его неподвижного диаметра. Сферу можно получить вращением окружности вокруг неподвижного её диаметра.
                                                                              

Все ещё проще, чем написал Alexm12.
Сфера - это поверхность шара. Она ограничивает шар, который находится внутри сферы.
Также, как окружность - это линия, ограничивающая круг.

Когда- то проходили курс матанализа.Если объём шара есть функция от его радиуса V=(4/3)пг^3, то взяв производную dV/dr=4nr^2,получаем площадь сферы.Ну и понятно что сфера- это поверхность шара,множество точек пространства находящихся на данном расстоянии от данной точки.А шар- это множество точек пространства находящихся на расстоянии от данной точки не превышающем некоторое значение.

С математической точки зрения шар — это тело, то есть геометрическая фигура, имеющая в каждой своей точке протяжённость в трёх измерениях. Сфера — это поверхность, то есть в каждой своей точке она имеет протяжённость в двух измерениях. Между собой шар и сфера соотносятся как поверхность и окружаем ее ею объем.

Оба имеют радиус и поверхность.
Но сфера полая, шар сплошной. То есть, пространство у шара от центра до поверхности заполнено веществом шара. У сферы от центра до поверхности ничего нет.