Человек, пришедший в гости, забыл код открывающий дверь подъезда, но помнил, что он составлен из нулей и единиц и всего имеет шесть цифр. Сколько вариантов кода в худшем случае ему придется перебрать, чтобы открыть дверь?

Это очень несложная задача. Она касается комбинаторики. Здесь мы имеем размещения с повторениями. Я обозначу это как A'(m, n). Формула такова: A'(m, n) = n^m. В нашем конкретном случае мы имеем размещения с повторениями из двух элементов, взятых по шесть элементов, поскольку у нас два варианта цифр для каждой позиции и шесть цифр всего, но они могут оказаться и одинаковыми, вернее могут повторяться; при этом порядок цифр имеет значение, менять местами их нельзя.
Имеем: A'(6, 2) = 2^6 = 64.
Ответ: в самом худшем случае, т. е. если гостю-неудачнику придётся перебрать все варианты, их окажется 64.
                                                                              

Конечно данную задачу можно решать имея знания по комбинаторике и Алекс-89 предложил такое решение. Но если вдруг с комбинаторикой не знакомы или формул не помните. Что же делать? Перебирать и считать?
Рассмотрим другой вариант решения. Не скажу, что он проще. Для этого надо знать системы счисления.
Итак начинаем перебор с  0 0 0 0 0 0
Далее  0 0 0 0 0 1, потом  0 0 0 0 1 0, потом 0 0 0 0 1 1 и так далее до 1 1 1 1 1 1
Так это мы просто считаем все числа от 0 до 1 1 1 1 1 1 в двоичной системе счисления.
Сколько таких чисел? Ну переведем 1 1 1 1 1 1 1 = 2⁵ + 2⁴ + 2³ + 2² + 2¹ + 2⁰ = 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 63. То есть от 1 до 63 будет 63 числа, ну и про 0 не забудем и получим 64 числа.
Ответ: 64 варианта.