Задача со вступительного экзамена в МГУ.
log(по осн. 2-x) (a^(2+x) + 2a^(1-x) + x - 1) + log(по осн. 2+x) (a^(2-x) + 2a^(1+x) - x - 1) = 2.
Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет ровно одно решение.

Изи, a=1. Позже скину решение, летом решал. Я ошибся, параметр "а" не только 1, но еще и -3, так как автор вопроса не дал условие, что параметр "а" обязан быть положительными.
                                                                              

(a^(2+x) + 2a^(1-x) + x - 1)(a^(2-x) + 2a^(1+x) - x - 1) =1
a не может быть отрицательным
Рассмотрим, когда а=0
-(x-1)(x+1)=1
1-x^2=1; x^2=0 => единственное решение, но оно не удовлетворяет ОДЗ для обоих логарифмов.
Все члены вида a^b больше нуля
Пусть a^(2+x) + 2a^(1-x) =y; a^(2-x) + 2a^(1+x)=z
(y+x-1)(z-x-1)=1
yz-xy-y+zx-x^2-x-z+x+1=1
x^2 + (y-z)x -(yz -z-y)=0
x1,2 =-(y-z)/2 +- sqrt(y^2 - 2zy + z^2 + 4 zy - 4z - 4y)/2
Одно решение, когда дискриминант равен 0
D = (z+y)^2 - 4(z+y)=0
поскольку z и y больше 0
z+y-4=0
a^2(a^x + 1/a^x) + 2a(a^x+1/a^x)=4
a(a+2)(a^x + 1/a^x)=4
v=a^x
(a^2+2a) v^2  - 4v + (a^2+2a)=0
v1,2 = (4+-sqrt(16-4(a^2+2a)^2))/(2a^2 + 4a)
4 - (a^2+2a)^2>=0
-2<=a^2 + 2a<=2
-1-sqrt(3)<=a<=sqrt(3)-1
С учётом того, что ранее ещё оговаривалось, что a>0
Окончательно будет
0<a<sqrt(3)-1
На рисунке взято а=0,5

В связи с последними вопросами, представляю проверку обоих значений параметров. Так же подправил ОДЗ.