Площади граней тетраэдра при вершине с прямыми плоскими углами равны 270, 360, 600. Сфера касается всех плоскостей, содержащих грани тетраэдра.
Чему равен радиус сферы?

Нам необходимо найти радиус вписанной в тетраэдр сферы, который определяется как отношение утроенного объема тетраэдра к площади полной его поверхности, то есть
Для начала найдем боковые ребра а, b и с.
Согласно условию
{ab/2 = 270;
{bc/2 = 360;
{ас/2 = 600.
Разделив первое уравнение на второе, получим
а = 0,75с.
Подставив данное выражение в третье уравнение, получаем
с = 40, тогда
а = 0,75*40 = 30,
b = 360*2/40 = 18.
Объем пирамиды можно вычислить, умножив треть высоты на площадь основания. Поскольку по условию углы при вершине прямые,
Vпир = 30*360/3 = 18*600/3 = 40*270/3 = 3600.
Используя т. Пифагора, можно легко найти стороны треугольника, являющегося основанием тэтраэдра:
√(18² + 30²) = √1224,
√(18² + 40²) = √1924,
√(40² + 30²) = 50.
Зная стороны треугольника, можно вычислить его площадь по ф. Герона.
где а, b, c - стороны тр-ка, а р - его полупериметр.
И в нашей задаче площадь основания получилась равной 750.
Тогда Sполн = (270 + 360 + 600 + 750) = 1980, а искомый радиус
R = 3*3600/1980 = 60/11 = 5,(45).
                                                                              

В комментарии к ответу Георг�ия22 я написал, что задача может иметь несколько решений, если принять площади граней МВА и МВС равными между собой,а площадь основания тетраэдра Sт равной 600. Рисунок Георгия дополним двумя перпендикулярами ВК и МК к стороне АС. В треугольнике АВС  АВ=АС/√2, ВК=АК=АС/2 как стороны расположенные против равных углов 45 градусов. 600=АС*ВК/2, 1200=АС*ВК, , 1200=АС^2/2, АС^2=2400, АС=√2400. Такие решения излагаю ниже, их не два, а даже три, если площади указанных граней считать попарно равными 270, 360 и 600 квадратным единицам. Площадь треугольника определяется по формуле S=L*h/2, где L- длина стороны,  h - высота треугольника опущенная на эту сторону. Поскольку треугольники МВА и МВС прямоугольные, то общая высота у них будет равна длине грани МВ. Объём пирамиды V=S*H/3, Радиус вписанного шара r=3V/S. 1)Рассмотрим решение для S1=270=АВ*МВ1/2, МВ1=540/АВ=540*√2/АС�=540*√2/√2400. V1=600*540*√2/3√2400�= 200*540*√2/√2400=108�000*√2/√2400. r1=3*108000*√2/600√2�400=540√2400,r1=11... 2)Для S2=360=АВ*МВ2/2=600*�720*√2/√2400. V2=432000√2/√2400, r2=3*432000√2/600√24�00=720√2/√2400=20,78.�... 3)Для V3=600=АВ*МВ3/2=600*�1200*√2/√2400= 720000*√2/√2400. r3=3*720000*√2/600√2�400=3600*√2/√2400=103�,9...   

Для прямоугольного тетраэдра верна обобщенная теорема Пифагора:
S²о = Sa² + Sb² +Sс².
Откуда, So = 750.
Таких сфер, как в условии, у тетраэдра может быть от пяти до восьми.
Всегда существуют вписанная сфера и четыре вневписанных, касающихся одной из граней с внешней стороны.
Радиус вписанной сферы легко находится, как верно указала Светлана0202:
R = 3V/Sp = 3V/(So + Sa + Sb + Sc).
Радиус вневписанной сферы, касающейся грани с площадью Sa, также легко найти, он равен:
Ra = 3V/(Sp − 2Sa).
Аналогично находятся Rb, Rc, Ro.
У нашего тетраэдра еще есть три сферы, вневписанные в "корытца" при ребрах.
Радиус сферы, вневписанной в "корытце" при ребре, образованном гранями с площадями Sa и Sb, равен:
Rab = 3V/(Sp − 2Sa − 2Sb).
Аналогично находим Rac и  Rbc.

Поскольку по условию задачи площади разные, то надо рассматривать общий случай тетраэдра. В общем случае тетраэдр имеет 4 грани в виде треугольников, 6 ребер и 4 вершины, в каждой из которых сходятся по три грани. Все рёбра тетраэдра равны между собой, поэтому все грани есть равносторонние правильные треугольники и их площади равны между собой. Условие задачи ошибочно. Но можно найти радиус сферы вписанный в правильный тетраэдр. Площадь любого треугольника S=h*L/2, где h - высота треугольника, L - его основание, или в данном случае длина грани. Обозначим вершины треугольника А,В,С.  Высоты равносторонних треугольников h = (L√3)/2. Точку пересечения всех высот в нём обозначим О, тогда ОА=ОВ=ОС равны радиусу вписанной окружности r=h/3=(L√3)/6. Четвёртую вершину тетраэдра обозначим Р. ОР будет высотой тетраэдра Н=L(√2/3). Радиус сферы касающейся всех граней R=L/2√6. √6=2,449... , если принять длину граней равной √6 или примерно 2,45, то R будет примерно равен 1/2.

Площади граней тетраэдра при вершине с прямыми плоскими углами равны 270, 360, 600. Сфера касается всех плоскостей, содержащих грани тетраэдра. Решение задачи:

Используя онлайн-калькуятор >>>>>>>>>>> , через полную площадь граней тетраэдра можно вычислить радиусы вписанной и описанной сфер.
В данном случае это будут цифры 6,902 и 20,705 соответственно. Методика расчета представлена внизу сайта.