Приведите пример трёх целых положительных чисел, сумма которых равна 407, а произведение оканчивается на шесть нулей

a + b + c = 407
a * b * c = q * 1 000 000
Произведение будет заканчиваться на ноль, если один из сомножителей заканчивается на ноль, либо один из сомножителей заканчивается на 2,  а второй на 5.
Ну, а поскольку 2 + 5 = 7, то с последними цифрами a, b, c разобрались
(k*10 + 2) + (m*10 + 5) + (n*10 + 0) = 407
(k*10 + 2) * (m*10 + 5) * (n*10 + 0) = q * 1 000 000
или
10* (k + m + n ) = 400  => k+m+n = 40
1000*k*m*n + 5*100 * k*n + 2*100*m*n + 100*n = 1 000 000 q
подсократив второе уравнение получим
10kmn + 5kn + 2mn + n = 10 000 * q
или, сгруппировав
2mn(5k+1) + n(5k + 1) = n(2m+1)(5k+1) = q * 10 000
Опять же, чтобы получить нули на конце нужны степени двойки и пятёрки, либо числа заканчивающиеся на нули
Но поскольку сомножители (2m+1) и (5k+1) не могут заканчиваться на нули (и 2m, и 5k должны заканчиваться на 9, а это невозможно), то все четыре нуля должны бы приходиться на n, а это также невозможно, поскольку по сумме из условия все числа a * b * c не более, чем трёхзначные, а m, n, k - не более, чем двузначные.
Значит степени двойки и пятёрки. Однозначно, что сомножитель (5k+1) степенью пятёрки быть не может, а (2m+1) не может быть степенью двойки. Значит 2m + 1 - степень пятёрки, причём не выше третьей и m может принимать значения 2, 12, 62, что даст соответственно первую, вторую и третью степень.
5k+1 - степень двойки, но из всех степеней двойки при двузначном k (2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256) могут присутствовать лишь 2^4 или 2^8. Последний вариант отпадает, поскольку для обнуления его потребна и восьмая степень пятёрки, а это для двузначных n и m запредельно.
Значит k=3 и a = 32
С учётом этого перепишем то, что имели ранее
n(2m+1)* 16 = q * 10 000 = (2m+1)n = 625 q
m+n = 37
Из последнего сразу можем исключить возможность для m принять значения 2 и 62.
Последнее, так как больше суммы m и n, а первое даёт для n значение 35, что степенью двойки, пятёрки или их произведением не является.
Таким образом m = 12; n = 25
В ответ идут (по возрастанию) числа 32, 125, 250
                                                                              

Эту задачу решают по-разному. Способ Василия заслуживает бесподобного уважения. Но он сложен!
На сайте nazva.net её решают, составив систему уравнений. Что-то вроде: b + c = 282; bc = 8000. Затем морока с квадратным уравнением.
А мне даже и с уравнениями не хочется возиться. Я имею в виду конкретно для данной интересной головоломки. Поэтому давайте-ка я её попробую решить арифметическим путём, с помощью одних чётких и неопровержимых рассуждений.
У нас система:
a + b + c = 407;
abc ⫶ 1 000 000.
Три точки на одной вертикали — знак кратности.
Плюс ещё: a ∈ N, b ∈ N, c ∈ N ("целые положительные" — это и значит натуральные).
1) Во-первых, какое максимальное произведение у нас может вообще получиться?
Если какое бы то ни было положительное число разбить, допустим, на три положительных слагаемых, то произведение их будет максимальным в том случае, если все три слагаемых будут попарно между собой равны. В любом ином случае произведение будет меньше.
407 : 3 = 135 ²/₃;
(135 ²/₃)³ = 2 497 005 ⁸/₂₇.
Но у нас произведение кратно миллиону. Значит, остаётся только два варианта для нашего искомого произведения: 1 000 000 и 2 000 000, ибо число 3 000 000 уже превышает число 2 497 005 ⁸/₂₇.
2) Итак, произведение у нас или миллион, или два миллиона. Миллион — это 10⁶, а это равно (2 * 5)⁶ = 2⁶ * 5⁶.
Два миллиона (менее вероятный случай) — это 2 * 10⁶, а это равно 2⁷ * 5⁶. Как видите, степень пятёрки не изменилась: там всё та же шестёрка в показателе. Нужно её обязательно получить путём перемножения!
Дальше будем плясать от пятёрки. Очевидно, по крайней мере один из сомножителей должен быть кратен 5. Но какой именно степени 5?
Становится понятно, что выше трёх степень пятёрки ни у одного сомножителя быть не может. Почему? Предположим обратное. Допустим, что одно из чисел, скажем a, делится на 5⁴, а это 625. Берём к этому самый маленький коэффициент, то есть единицу. Получаем: 625 + b + c = 407; b + c = –218. Но такого быть не может. Сумма двух натуральных чисел всегда число натуральное.
А уж тем более не годится вариант, если взять перед 625 коэффициент выше 1.
А тем более не пойдёт, если взять пятую или шестую степень пятёрки.
Итак, мы нашли, что наши три числа потенциально могут быть кратны какой-то степени пятёрки, но никак не выше третьей.
3) Следующий шаг — подумать, как можно представить 6 в виде суммы трёх натуральных или нулевых чисел, каждое из которых не превышает трёх. [Почему суммы? При перемножении степеней с одним и тем же основанием показатели складываются.]
Думаю, все согласятся, что здесь три варианта:
А) 6 = 3 + 3 + 0;
Б) 6 = 3 + 2 + 1;
В) 6 = 2 + 2 + 2.
Однако тут же я берусь доказать, что варианты Б и В напрочь провальные. Почему? В вариантах Б и В все наши три числа делятся на пять. Как тогда от их сложения получилось число, на 5 не делящееся? Нет, братцы, не может такого быть. Если все слагаемые делятся на какое-то нат. число, то и сумма делится на это число. А у нас сумма 407, а это не кратно пяти... Значит, логично заключить, что верен только вариант А. Действительно, если два натуральных числа из трёх делятся на некое натуральное m, а третье не делится, то сумма НЕ разделится на m.
Остаётся вариант А: две пятёрки в третьей степени, а третье число на пять не делится.
4) Но перед третьей степенью пятёрки у наших двух чисел могут быть какие-то натуральные коэффициенты. Какие же?
Допустим, мы решили начать перебор коэффициентов с двух двоек. Т. е. теоретически предположили, что у нас два числа по 250. (Не сказано в условии задачи, что числа попарно различны.) Но тут же мы понимаем, что это неверно. 250 + 250 + с = 407, и цэ получается равным –93, что недопустимо.
А уж тем более недопустимо всё, что выше пары в две двойки.
Значит, остаётся максимум два варианта:
I) перед одним из чисел коэффициент 1, а перед другим 2;
II) перед двумя числами коэффициенты 1; проще говоря, у нас два числа по 125.
И тут же я докажу, что вариант под римской цифрой II терпит полный крах. Почему? Просто! У нас два числа по 125, они нечётные. А сумма у нас 407, она нечётна. Чтобы два нечётных числа в сумме с каким-то третьим дали нечётное число, то и третье число обязано быть нечётным. А что у нас будет с произведением? Ребятки, не получится у нас миллиончика (или двух миллиончиков)! Три нечётных дадут нечто тоже нечётное при перемножении.
5) Значит, остался лишь вариант I. Получается, одно из чисел — это 125. А второе — это 125, домноженное на коэффициент, или множитель 2.
125 * 2 = 250.
Третье число найдёт даже грудной ребёнок.
a + b + c = 407; 125 + 250 + c = 407; 375 + c = 407; c = 407 – 375; c = 32.
Итак, наши числа равны 32, 125 и 250. Других вариантов нет. Задача решена. Мы обошлись без квадратных уравнений, одной арифметикой.
(Правда, осталось доказать для себя истинность теоремы для пункта № 1. Пока сложновато, но когда-нибудь я с этим, вероятно, разберусь.)

Это числа 250, 125 и 32.
Число, которое кончается на 6 нулей - это миллион, 1000000.
Если разделить его на 250, то получится 4000 = 125*32
В сумме эти три числа и дают 407.