Как решить Найдите наименьшее значение функции у=х^3-48х на отрезке [0;6]. Как решить?.

Исследуем функцию y = x³ - 48x на отрезке [0; 6]
Чтобы понять где функция убывает, возрастает и имеет экстремумы, посчитаем производную
y' = (x³ - 48x)' = (x³)' - (48x)' = 3x² - 48
Приравняем производную к 0 и найдем х (корни)
y' = 0 = 3x² - 48
3x² = 48
x² = 16
x₁ = -4
x₂ = 4
Теперь проверим на каких промежутках функция убывает, а на каких возрастает.
Если y' < 0, то функция y(х) - убывает
Если y' > 0, то функция y(x) - возрастает
y' < 0  <=> (x-4)•(x+4) < 0
Решаем методом интервалов
x ∈ (-4; 4) - производная отрицательна и функция у(x) убывает
Соответсвенно:
y' > 0  <=> (x-4)•(x+4) > 0
Решаем методом интервалов
x ∈ (-∞; -4)⋃(4; +∞) - производная положительна и функция у(x) возрастает
Нас интересует отрезок [0; 6]
На этом отрезке в промежутке x ∈ [0; 4) функция убывает,
а в промежутке x ∈ (4; 6] функция возрастает.
x = 4 - будет точкой минимума на данном отрезке.
Теперь найдем значение функции в этой точке. Подставим x = 4
y = 4³ - 48•4 = 64•(1-3) = -128
Ответ: min(y) = -128, x ∈ [0; 6]