Чему равно отношение зеленой и голубой областей? Т.е площадь зеленой области/ площадь голубой области=?

Как раз здесь просто..
Нужно найти площади фигур..
Действительно площадь зелёной части равна разности площади круга и вписанного квадрата:
пR^2-a^2..
Соотношение стороны квадрата и радиуса окружности:
sqrt(2)R=a..
Значит площадь зелёной фигуры:
Sзел=R^2(п-2)
Площадь синей фигуры - это сумма восьми сегментов..
Площадь одного сегмента равен разности площади сектора и треугольника под ним..
Площадь сектора - это четвёртая часть круга, построенного на радиусе, равном половинной стороне квадрата..
И тогда синяя часть будет:
Sсин=а^2(п/2-1)
Учитывая соотношение R и а получим:
Sзел/Sсин=R^2(п-2)/(�2R^2(п/2-1))=R^2(п-2)�/R^2(п-2)=1
Так что площади синей и зелёной части равны и их соотношение равно единице..
                                                                              

Есть такой вариант решения. Примем радиус синего круга равным 1. Тогда сторона квадрата будет равным 2, радиус зеленого круга корень из 8 деленное на 2 или корень из 2. Площадь зеленой части фигуры находим как разность площадей синего круга и квадрата, то есть (2*пи- 4). Учтем, что синяя часть фигуры состоит из 4-х равных секторов, то есть площадь одного синего сектора будет равна (2*пи- 4)/4.
Далее перейдем к зеленой части фигуры. Она тоже состоит из сегментов, но их 8. Площадь зеленого сегмента в 2 раза меньше, чем у синего сегмента, так как радиус зеленого круга в корень из 2 раз меньше, чем у синего. Получается, что площадь 4-х синих сегментов равна площади 8 зеленых, то есть отношение площадей синей части и зеленой части равно 1.

Цветные области мы представляем как сегменты вписанной (синяя площадь) и описанной (зелёная площадь) по отношению к квадрату окружностей. Синих сегментов восемь, зелёных - четыре.
Соотношение радиусов вписанной и описанной окружностей
Подставив значения радиусов в формулу для нахождения площади сегмента, видим, что соотношение  площадей сегментов 1:2. Умножив на количество сегментов каждого цвета, получаем одинаковое число.
Площади зелёной и голубой областей равны. Их соотношение 1:1

В зелёный круг диаметром D вписан жёлтый квадрат сторона которого Х = D /√2 . Площадь круга Sкр=Пи*D^2/4, площадь квадрата Sкв=Х^2=D^2/2, площадь зелёной области Sз =Sкр-Sкв=Пи*D^2/4-D^�2/2,=D^2/4(Пи-2). Площадь голубой области Sг равна разности площади жёлтого квадрата и двух кругов диаметром Х то-есть Sл =D^2/2 - Пи*Х^2/2 = D^2/2 - Пи*D^2/4 = D^2/4(2 - Пи/2). Отношение зеленой и голубой областей равно D^2/4(Пи-2)/D^2/4(2 - Пи/2)=(Пи-2)/(2 - Пи/2)= 2,65979...

Можно еще решить вот таким логическим способом (почти без формул):
Если разрезать лепестки синей области пополам, то получиться фигура, которая будет подобна зеленой. Коэффициент подобия при этом равен 1/√2. Значит отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия, т.е 1/2 от площади зеленой фигуры, а значит вся синяя фигура равновелика зеленой (так как таких лепестков в два раза больше - 8шт). Как -то так.

Я просто навскидку, не вдаваясь в математику, интуитивно, могу предположить равенство этих площадей.